Viết phương trình đường thẳng qua điểm và cách điểm một khoảng lớn nhất.

Để viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1;3) và cách điểm I(-1;5) một khoảng lớn nhất, trước tiên ta cần hiểu rằng đường thẳng sẽ đi qua điểm M và sẽ vuông góc với đoạn thẳng nối giữa hai điểm M và I.

1. Tìm vectơ chỉ phương từ M đến I:

Vectơ MI = I - M = (-1 - 1; 5 - 3) = (-2; 2).

2. Tính độ dài của đoạn thẳng MI:

Độ dài MI = sqrt((-2)^2 + (2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).

3. Tìm đường trung bình của đoạn MI:

Điểm nằm ở giữa MI có toạ độ là:
T = ((-1 + 1)/2; (5 + 3)/2) = (0; 4).

4. Tính góc giữa vectơ MI và trục hoành:

Góc θ có thể tính từ hệ số góc m của đường thẳng MI:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (-1 - 1) = 2 / (-2) = -1.

Vì đường thẳng đi qua M và cách I một khoảng lớn nhất, đường thẳng sẽ vuông góc với vectơ MI.

5. Tìm hệ số góc của đường thẳng vuông góc:

Nếu hệ số góc của MI là -1, thì hệ số góc của đường thẳng vuông góc sẽ là nghịch đảo và đổi dấu, cụ thể là 1.

6. Viết phương trình đường thẳng:

Sử dụng phương trình đường thẳng dạng y - y0 = m(x - x0), với (x0, y0) là toạ độ của điểm M(1;3):
y - 3 = 1(x - 1).
=> y - 3 = x - 1.
=> y = x + 2.

Vậy phương trình đường thẳng qua M(1;3) và cách điểm I(-1;5) một khoảng lớn nhất là: y = x + 2.