x+y=1 va x,y la cac so thuc duong  Tìm gtnn (1+1/x)(1+1/y)

Ta có hệ phương trình:

x + y = 1 với x, y là các số thực dương.

Mục tiêu là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(1 + 1/x)(1 + 1/y).

Trước tiên, ta mở rộng biểu thức:

(1 + 1/x)(1 + 1/y) = 1 + 1/x + 1/y + 1/(xy).

Rồi áp dụng điều kiện x + y = 1, ta có 1/x + 1/y = (x + y) / (xy) = 1 / (xy).

Do đó, ta cần tối thiểu hóa biểu thức:

1 + 1/(xy).

Gọi z = xy. Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

(x + y)/2 ≥ √(xy) hay 1/2 ≥ √z.

Từ đó, ta có:

(1/2)² ≥ z ⇒ z ≤ 1/4.

Giá trị lớn nhất của z là 1/4, xảy ra khi x = y = 1/2.

Thay z vào biểu thức cần tìm:

1 + 1/(xy) = 1 + 1/(1/4) = 1 + 4 = 5.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của (1 + 1/x)(1 + 1/y) là 5.