cho tam giác ABC (AB<AC) lấy điểm D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC a) chứng minh : DE//BC b) tia phân giác của góc BAC cát BC tại P. vẽ điểm Q sao cho E là trung điểmPQ, tứ giác APCQ là hình gì vì sao c) chứng

a) Để chứng minh DE // BC, ta sử dụng lý thuyết về các đường trung bình trong tam giác.

Đặt D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC. Theo định nghĩa, DE nối D và E. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh trong một tam giác thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng một nửa độ dài của cạnh đó.

Trong tam giác ABC, D và E là trung điểm của hai cạnh AB và AC, nên theo định lý này, ta có DE // BC.

b) Để chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC cắt BC tại P, ta cần sử dụng định nghĩa về tia phân giác và tính chất của nó. Tia phân giác của góc BAC là tia chia góc BAC thành hai góc bằng nhau. Khi tia này cắt cạnh BC tại một điểm P, nó sẽ chia BC thành hai đoạn BP và PC sao cho tỉ lệ giữa hai đoạn này tương ứng với tỉ lệ giữa hai cạnh mà góc BAC đó đối diện:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BP}{PC}.
\]

c) Với điểm Q được vẽ sao cho E là trung điểm của PQ, tứ giác APCQ là hình gì? Khi E là trung điểm của PQ, theo định nghĩa về tứ giác, ta sẽ kiểm tra xem tứ giác này có phải là hình bình hành hay không.

Để tứ giác APCQ là hình bình hành, ta cần có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

1. Ta đã biết rằng DE // BC.
2. Bởi vì E là trung điểm của PQ, ta cũng có thể nói rằng PQ // AC và PQ = 2 * DE (vì DE là nửa PQ).

Điều này cho thấy rằng APCQ là một hình bình hành bởi vì hai cặp cạnh APC và QD lần lượt bằng nhau và song song.

d) Để chứng minh PBEC = PCBD, ta sẽ dùng định lý về diện tích và tính chất của phân giác.

Từ tia phân giác tại A, ta có:
- Tia phân giác sẽ chia diện tích của tam giác ABC thành hai phần tỷ lệ với độ dài của các cạnh đối diện.

Do đó, diện tích của tam giác ABP và ACP là bằng nhau nếu ta đưa vào tính toán phần chiều cao từ A xuống BC, tức là:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BP}{PC}.
\]

Khi nhân cả hai vế với BD và EC, ta có:

\[
PB \cdot EC = PC \cdot BD.
\]

Điều này chứng minh rằng sản phẩm của đoạn đường theo hai cạnh AB và AC sẽ tương ứng với đoạn đường chia theo phân giác tại P.