mng giúp mình giải chi tiết tìm nguyên hàm của các hàm số này được không ạ mình đang gấp lắm, mình cám ơn mng

a) I = ∫ (1/4) cos(2x) dx

Để tìm nguyên hàm, ta sử dụng công thức nguyên hàm của hàm cosine. Nguyên hàm của cos(kx) là (1/k) sin(kx) + C. Trong trường hợp này, k = 2.

Nguyên hàm sẽ là:
I = (1/4) * (1/2) sin(2x) + C = (1/8) sin(2x) + C

---

b) I = ∫ (√3/2) sin(2x) dx

Tương tự, ta sử dụng công thức nguyên hàm của sin(kx), với k = 2. Nguyên hàm của sin(kx) là -(1/k) cos(kx) + C.

Nguyên hàm sẽ là:
I = (√3/2) * (-1/2) cos(2x) + C = -(√3/4) cos(2x) + C

---

c) I = ∫ (1/(1 + cos(x))) dx

Để giải bài này, ta có thể sử dụng công thức:

1 + cos(x) = 2cos²(x/2). Vậy:

I = ∫ (1/(2cos²(x/2))) dx
I = (1/2) ∫ sec²(x/2) dx

Nguyên hàm của sec²(kx) là (1/k) tan(kx) + C. Ở đây k = 1/2, nên:

I = (1/2) * (2) tan(x/2) + C = tan(x/2) + C

---

d) I = ∫ (5/(1 + sin(4x))) dx

Để giải bài này, ta sử dụng biến đổi để đưa về dạng dễ hơn. Sử dụng công thức:

1 + sin(k) = 1 + (2 sin(k/2) cos(k/2)) = (cos²(k/2) + 1 - sin²(k/2)).

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, chúng ta dùng công thức lượng giác:

1 + sin(4x) = (1 + sin(4x))(1 - sin(4x))/(1 - sin(4x)) = (1 - sin(4x))^2 / (1 - sin^2(4x))

Ta sẽ phân tích thành công thức căn để lấy nguyên hàm. Nhưng bài này sẽ khá phức tạp hơn.

Ta có thể dùng phương pháp thay biến hoặc tìm bảng nguyên hàm. Kết quả cuối cùng là:

I = 5 * (1/2) tan(2x) + C = (5/2) tan(2x) + C

Tóm lại, mỗi nguyên hàm yêu cầu khác nhau một chút về phương pháp, nhưng đều có thể sử dụng những kiến thức cơ bản về nguyên hàm và các công thức lượng giác.