Chứng tỏ 2^2^2n+1 +3 là hợp số

Để chứng minh rằng biểu thức \(2^{2^{2n+1}} + 3\) là hợp số cho mọi \(n \geq 0\), ta có thể xem xét điều này theo từng giá trị của \(n\).

1. Xét \(n = 0\):
\[
2^{2^{2 \cdot 0 + 1}} + 3 = 2^{2^{1}} + 3 = 2^{2} + 3 = 4 + 3 = 7
\]
Số 7 là số nguyên tố.

2. Xét \(n = 1\):
\[
2^{2^{2 \cdot 1 + 1}} + 3 = 2^{2^{3}} + 3 = 2^{8} + 3 = 256 + 3 = 259
\]
Ta cần kiểm tra xem 259 có phải là hợp số hay không:
\[
259 = 7 \times 37
\]
Vậy 259 là hợp số.

3. Xét \(n = 2\):
\[
2^{2^{2 \cdot 2 + 1}} + 3 = 2^{2^{5}} + 3 = 2^{32} + 3
\]
Tính thử \(2^{32} + 3\):
Một đặc điểm của các số dạng \(2^{2^k} + 3\) là khi \(k \geq 1\), nó thường là hợp số. Chúng ta sẽ thử phân tích \(2^{32} + 3\). Cụ thể ta có:
\[
2^{32} = (2^{16})^2
\]
Sử dụng định lý phân tích, chúng ta có thể xem \(2^{32} + 3\) không thường là số nguyên tố.

Ghi chú chung: Để đưa ra một lập luận chính xác hơn cho tất cả các giá trị của \(n\), bạn có thể xem xét chứng minh rằng \(2^x + 3\) có nhiều yếu tố khác nhau cho các \(x\) lớn hơn 1, có thể áp dụng quy luật trong số học về các số dạng \(2^{2^k} + 3\).

Từ việc khảo sát cho các giá trị nhỏ của \(n\), ta đưa ra kết luận rằng:

- Với \(n = 0\), biểu thức cho ra số nguyên tố \(7\).
- Với \(n = 1\), cho ra hợp số \(259\).
- Với \(n = 2\) trở đi, các biểu thức trở nên phức tạp hơn nhưng có xu hướng sinh ra hợp số.

Do đó, ta không thể phát biểu rằng \(2^{2^{2n+1}} + 3\) luôn là hợp số cho tất cả \(n\). Tuy nhiên, từ các giá trị \(n \geq 1\) trở đi, nó thường cho ra kết quả hợp số.