Chứng tỏ 2^2^2n+1 +3 là hợp số

Để chứng minh rằng biểu thức $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số cho mọi $n\ge 0$, ta có thể xem xét điều này theo từng giá trị của $n$.

1. Xét $n=0$:
$$2^{2^{2\cdot 0+1}}+3=2^{2^1}+3=2^2+3=4+3=7$$
Số 7 là số nguyên tố.

2. Xét $n=1$:
$$2^{2^{2\cdot 1+1}}+3=2^{2^3}+3=2^8+3=256+3=259$$
Ta cần kiểm tra xem 259 có phải là hợp số hay không:
$$259=7\times 37$$
Vậy 259 là hợp số.

3. Xét $n=2$:
$$2^{2^{2\cdot 2+1}}+3=2^{2^5}+3=2^{32}+3$$
Tính thử $2^{32}+3$:
Một đặc điểm của các số dạng $2^{2^k}+3$ là khi $k\ge 1$, nó thường là hợp số. Chúng ta sẽ thử phân tích $2^{32}+3$. Cụ thể ta có:
$$2^{32}=(2^{16}{)}^2$$
Sử dụng định lý phân tích, chúng ta có thể xem $2^{32}+3$ không thường là số nguyên tố.

Ghi chú chung: Để đưa ra một lập luận chính xác hơn cho tất cả các giá trị của $n$, bạn có thể xem xét chứng minh rằng $2^x+3$ có nhiều yếu tố khác nhau cho các $x$ lớn hơn 1, có thể áp dụng quy luật trong số học về các số dạng $2^{2^k}+3$.

Từ việc khảo sát cho các giá trị nhỏ của $n$, ta đưa ra kết luận rằng:

- Với $n=0$, biểu thức cho ra số nguyên tố $7$.
- Với $n=1$, cho ra hợp số $259$.
- Với $n=2$ trở đi, các biểu thức trở nên phức tạp hơn nhưng có xu hướng sinh ra hợp số.

Do đó, ta không thể phát biểu rằng $2^{2^{2n+1}}+3$ luôn là hợp số cho tất cả $n$. Tuy nhiên, từ các giá trị $n\ge 1$ trở đi, nó thường cho ra kết quả hợp số.