Tính $log_{4}$ $(frac{216^{1/3}}{10^{2}}.3^{4})$

Để tính giá trị của biểu thức $\log_{4} \left(\frac{216^{1/3}}{10^{2}} \cdot 3^{4}\right)$, ta sẽ thực hiện từng bước một.

Trước tiên, ta tính giá trị của từng thành phần trong biểu thức:

1. Tính $216^{1/3}$:
\[
216 = 6^3 \Rightarrow 216^{1/3} = 6.
\]

2. Tính $10^{2}$:
\[
10^{2} = 100.
\]

3. Tính $3^{4}$:
\[
3^{4} = 81.
\]

Sau đó, chúng ta thay các giá trị này vào biểu thức:
\[
\frac{216^{1/3}}{10^{2}} \cdot 3^{4} = \frac{6}{100} \cdot 81 = \frac{486}{100} = 4.86.
\]

Tiếp theo, ta sẽ tính $\log_{4}(4.86)$. Tuy nhiên, để tìm giá trị này, ta sẽ sử dụng tính chất của logarithm, chuyển căn bậc sang logarithm với cơ số khác nếu cần.

Sử dụng công thức:
\[
\log_{b}(a) = \frac{\log_{k}(a)}{\log_{k}(b)},
\]
với $k$ là cơ số bất kỳ (thường sử dụng cơ số 10 hoặc tự nhiên).

Vì $4 = 2^2$, nên $\log_{4}(4.86)$ có thể được viết lại dưới dạng:
\[
\log_{4}(4.86) = \frac{\log_{2}(4.86)}{\log_{2}(4)} = \frac{\log_{2}(4.86)}{2}.
\]

Bây giờ ta cần tính $\log_{2}(4.86)$. Chúng ta không có giá trị chính xác, nhưng có thể ước lượng hoặc tính gần đúng bằng cách sử dụng máy tính.

Tuy nhiên, ta có thể tiếp tục với việc ước lượng:
\[
4.86 \approx 4 (vì 4 < 4.86 < 8).
\]
Do đó:
\[
\log_{2}(4.86) \approx 2 + \text{số dương nhỏ (nếu tính chính xác)}.
\]
Vì vậy:
\[
\log_{4}(4.86) \approx \frac{(2+\epsilon)}{2} = 1 + \frac{\epsilon}{2},
\]
với $\epsilon$ là một giá trị nhỏ.

Cuối cùng, giá trị gần đúng của $\log_{4}(4.86)$ là khoảng 1. Cần chú ý là $4.86$ không phải là 4 hay 8 mà nằm giữa, nên giá trị có thể nhẹ hơn 1, nhưng gần với 1.

Vì vậy, kết quả cuối cùng cho biểu thức $\log_{4} \left( \frac{216^{1/3}}{10^{2}} \cdot 3^{4} \right)$ là một giá trị gần bằng 1, hoặc có thể ước lượng và tính toán chính xác hơn nếu cần thiết.