cho tam giác abc vuông tại a (ab > ac) có đường cao ah vẽ đường tròn tâm c, bán kính ca điểm d là điểm đối xứng với a qua h a) chứng minh d thuộc đường tròn (c;ca) b) chứng minh bd là tiếp tuyến của đường tròn

a) Để chứng minh điểm D thuộc đường tròn (C; CA), ta cần chứng minh khoảng cách từ D đến C bằng bán kính CA.

- Gọi A, B và C lần lượt là các đỉnh của tam giác vuông ABC, với A là đỉnh góc vuông. Theo giả thiết, AH là đường cao từ A xuống BC, và H là điểm trên BC.
- Khi D là điểm đối xứng của A qua H, thì có nghĩa là AH = HD.
- Trong tam giác vuông ABC, ta biết rằng khoảng cách từ A đến C chính là CA (bán kính của đường tròn).

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng CD = CA.

- Ta có D đối xứng với A qua H, do đó tính chất đối xứng cho phép chúng ta có:

CD = CH + HD

- Tuy nhiên, từ định nghĩa đường cao, ta biết rằng AH vuông góc với BC, mà BC cũng nằm trên đường tròn tâm C bán kính CA.
- Do đó, CX vuông góc với AB, và AH = HD.

Vậy, ta có:

CD = CA

Suy ra, D thuộc đường tròn (C; CA).

b) Để chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA), ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ C đến BD là bằng bán kính CA. Tức là, cần phải chứng minh rằng góc BCD là góc vuông.

- Gọi O là tâm của đường tròn (C; CA).
- Do D là điểm đối xứng với A qua H, và AH vuông góc với BC, nên ta có BD vuông góc với CD (theo tính chất của đường tiếp tuyến).

Suy ra, BD là tiếp tuyến tại điểm D của đường tròn (C; CA) vì theo định nghĩa, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, thì nó là một tiếp tuyến của đường tròn.

Kết luận, BD là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).