Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia AD lấy điểm N sao cho DN = DAa) chứng minh ABNC là hình chữ nhật b) Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE.

a) Để chứng minh ABNC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng AB vuông góc với AN và BC vuông góc với AN.

1. Chứng minh AB vuông góc với AN:
- Xét tam giác vuông ABC tại A. D là trung điểm của BC có nghĩa là AD vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC, vừa là đường phân giác góc A.
- Bởi vì D là trung điểm của BC và AD là tia phân giác, nên góc ABD bằng góc ACD.
- Khi DN = DA, nghĩa là N cách D một khoảng bằng đúng khoảng từ A đến D. Theo định nghĩa của hình chữ nhật, thì 4 điểm A, B, N, C sẽ tạo thành hình chữ nhật nếu AB vuông góc với AD và AC vuông góc với AN.
- Vậy ta có: AB vuông góc với DN, tức là vuông góc với AN.

2. Chứng minh BC vuông góc với AN:
- Bên cạnh đó, từ tính chất tam giác vuông ABC, AD sẽ chia BC thành 2 đoạn bằng nhau.
- Do D là trung điểm của BC nên ta có được mối quan hệ giữa độ dài và góc của các cạnh AB và AC.
- Khi đó, BC cũng sẽ vuông góc với AN.

Do đó, ABNC là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh BENC là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. Chứng minh BENC là hình bình hành:
- B là trung điểm của AE. Khi đó, theo định nghĩa của hình bình hành, chúng ta có:
- Chiều dài của BE sẽ bằng chiều dài của CN (tại điểm N, DN = DA, điều này dẫn đến độ dài của AN cũng bằng BA).
- Do đó, BE = CN.

2. Chứng minh cạnh BN song song với CE:
- A nằm ở điểm giữa B và E nên khi nối hai điểm B và C lại sẽ tạo thành một đường thẳng, mà từ đó EC cũng sẽ đi qua B và N.
- Đối với tam giác ABC vuông và vì AD là đường trung tuyến, nên B có thể được coi là điểm chia đôi của E và N.

Do đó, hai cặp cạnh đối diện của hình BENC đều bằng nhau. Từ đó, ta suy ra rằng BENC là hình bình hành.