Cho tam giác ABC, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. a)Chứng minh : MN là đường trung bình của tam giác ABC. b)Tia phân giác của góc A cắtBC tại I. Vẽ điểm K sao cho N là trung điểm của IK. c) Chứng minh:IB.NC=IC.MB

a) Để chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng tính chất của các trung điểm.

Gọi M là trung điểm của đoạn AB, tức là AM = MB. Tương tự, gọi N là trung điểm của đoạn AC, tức là AN = NC.

Xét tam giác ABC, theo định nghĩa đường trung bình, một đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác đó.

Đoạn thẳng MN nối hai trung điểm M và N. Theo định nghĩa, trong tam giác ABC, đoạn MN sẽ song song với cạnh BC và bằng một nửa độ dài của cạnh BC.

Chúng ta có thể ghi lại điều này dưới dạng:
MN || BC
MN = 1/2 * BC

Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

b) Chúng ta đã có tia phân giác của góc A cắt BC tại I. Điểm K được vẽ sao cho N là trung điểm của IK. Điều này có nghĩa là đoạn IK được chia đều ở giữa tại N.

c) Để chứng minh IB.NC = IC.MB, chúng ta sẽ sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng. Tia phân giác A cắt BC tại I, có nghĩa là:
AB/AC = IB/IC

Theo định lý trung bình, ta biết rằng:
MB = AM và NC = AN, vì M và N là trung điểm của AB và AC.

Từ đó, ta có:
IB = (AB/AC) * IC

Bây giờ, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của các đoạn thẳng để biểu diễn lại:
NC = 1/2 AC và MB = 1/2 AB

Như vậy, ta có thể ghi lại:
IB.NC = (IB) (1/2 AC)
IC.MB = (IC) (1/2 AB)

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
IB.NC = IC.MB.

Vì các tỉ lệ này phù hợp với nhau, chúng ta có thể khẳng định rằng IB.NC = IC.MB đã được chứng minh.