Cho bảng ô vuông 3x3 (gồm 3 dòng và 3 cột). Người ta ghi tất cả các số thuộc tập hợp {1, 2,3, 4,5,6,7,8, n} (8 <n n tự nhiên) vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông ghi một số sao cho tổng các số trong mỗi dòng đều bằng nhau.  Tìm tất cả

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét các điều kiện cho bảng ô vuông 3x3 mà mỗi ô đều ghi một số sao cho tổng các số trong mỗi dòng đều bằng nhau.

Ta có các số thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, n} với n > 8. Tổng các số trong tập hợp này sẽ là:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + n = 36 + n.

Một bảng 3x3 có 3 dòng, do đó, nếu tổng các số trong mỗi dòng đều bằng nhau thì tổng của ba dòng cũng phải bằng nhau, và sẽ có tổng là:

T = 3 * M (với M là tổng các số trong một dòng).

Vì tổng của các ô vuông bằng tổng của tập hợp các số, ta có:

3 * M = S = 36 + n.

Vậy chúng ta có:

M = (36 + n) / 3.

M để là một số nguyên, do đó, điều kiện cần là 36 + n phải chia hết cho 3.

Ta thấy rằng 36 chia hết cho 3 (36 mod 3 = 0), vậy n cũng cần phải chia hết cho 3:

n mod 3 = 0.

Như vậy, n có thể là 9, 12, 15, 18, ... và bất kỳ số nào lớn hơn 8 và chia hết cho 3.

Để kết luận, tất cả các n tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là các số tự nhiên n lớn hơn 8 và n chia hết cho 3.