cho tam giacs abc cân tại a trên tia đối bc lấy e trên tia đối cb lấy f sao cho be = cf a,cmr góc abe = góc acf b, cmr tam giác abe = tam giác hcf ;ae = af  c, vẽ BH vuông góc AE,vẽ CK vuông

Cho tam giác ABC cân tại A, có AB = AC. Xét hai điểm E và F trên tia đối CB và CA sao cho BE = CF.

a) Ta cần chứng minh góc ABE = góc ACF. Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc CAB = góc ABC. Do đó, nếu ta có BE = CF thì góc ABE và góc ACF sẽ có đỉnh A và hai cạnh là AB và AC, nên hai góc này sẽ bằng nhau (theo định lý góc đối diện bằng nhau trong tam giác cân).

b) Chứng minh tam giác ABE bằng tam giác ACF: Ta có:
- AB = AC (điều kiện tam giác cân)
- BE = CF (điều kiện đã cho)
- Góc ABE = Góc ACF (như đã chứng minh ở phần a)
Từ đó áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có thể kết luận rằng tam giác ABE = tam giác ACF.

c) Vẽ BH vuông góc với AE và CK vuông góc với AF. Ta cần chứng minh BH = CK.
Trong tam giác ABE và ACF, vì chúng bằng nhau (theo phần b), nên các cạnh đối diện với các góc vuông cũng sẽ bằng nhau. Cụ thể, độ dài BH và CK chính là chiều cao từ B và C xuống AE và AF, vì vậy chúng phải bằng nhau theo tính chất của hai tam giác đồng dạng.

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Khi H và K là các điểm vuông góc từ B và C vào các đường thẳng AE và AF, thì OA chính là đường trung trực của đoạn BC. Vì theo định lý trung trực, đường trung trực sẽ chia đoạn thẳng thành hai đoạn bằng nhau và cũng cắt tại điểm O.
Hơn nữa, vì M là giao điểm của CA và BC, thì chúng ta có OA = OM (đoạn AO bằng đoạn OM) do O nằm trên đường trung trực và các đoạn từ O đến B và O đến C sẽ có khoảng cách bằng nhau, tức là OA là đường trung trực của đoạn BC.

Vậy, tất cả các yêu cầu trong bài toán được chứng minh xong.