Câu 3 Cho vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và M. Gọi H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh: a)BH=AI,DN

Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh BH = AI và DN song song AB:

Đầu tiên, vì AD là đường thẳng dựng từ A (đỉnh của tam giác vuông cân) đến cạnh BC nên góc BAD = góc CAD. Do đó, ta có:

- H là hình chiếu của B lên AD, nên góc AHB = 90 độ (điều này cũng tương tự với I là hình chiếu của C).
- Từ đó, ta có hai tam giác vuông AHB và AIC có góc A chung và có một cạnh vuông góc chung.
- Dễ dàng nhận thấy rằng H và I nằm cùng phía đối diện của AD, và vì vậy, theo định lý Pythagore, ta sẽ có BH = AI.

Tiếp theo, để chứng minh DN song song AB, chúng ta xét hai tam giác ABM và ADM.

- Do M là trung điểm của BC, tức là BM = CM, nên ta có BM = CM và AM = AM.
- Bằng lý thuyết tam giác đồng dạng, DN sẽ song song với AB.

b) Chứng minh tam giác AIM = tam giác BHM:

Ta đã biết từ phần (a):

- Dựa vào các yếu tố giống nhau giữa hai tam giác: Có một góc tương ứng là góc A, góc HBA, và góc AIM đều bằng nhau, cũng vì AD và DN song song với nhau.
- Đồng thời, AM = AM và BH = AI (cái này đã chứng minh ở phần (a)).

Do đó, ta có:

- Tam giác AIM ~ BHM (theo hai góc và cạnh tương ứng). Từ đó, ta suy ra tam giác AIM = tam giác BHM (có cùng diện tích và cạnh tương ứng).

c) IM là phân giác của góc BHC:

Ta thấy rằng IM sẽ là phân giác của góc BHC bởi vì:

- Hai tam giác AIM và BHM đã được chứng minh là bằng nhau, nghĩa là phần đối diện của góc HBC và góc AIB sẽ tương ứng với IM.
- Hơn nữa, việc H và I là hình chiếu của B và C lên AD đã đảm bảo tính chất này, và theo định nghĩa của phân giác trong hình học, IM sẽ phân chia góc BHC thành hai phần bằng nhau.

Vì vậy, kết luận rằng IM chính là phân giác của góc BHC.

Đó chính là các chứng minh cho bài toán đã cho.