gpt ẩn `x` dưới dạng tq `x^2 + [x]^2 = k(k in NN)`

Để giải phương trình `x^2 + [x]^2 = k` với `k` là số tự nhiên (NN) và `[` là ký hiệu làm tròn xuống (phần nguyên), ta cần phân tích từng phần của phương trình.

1. Định nghĩa `[x]`: `x` có thể được phân tách thành phần nguyên và phần thập phân, giả sử `x = n + f`, trong đó `n = [x]` là phần nguyên (số nguyên lớn nhất không vượt quá `x`) và `f` là phần thập phân (f ∈ [0, 1)). Khi đó, `x^2` trở thành `(n + f)^2 = n^2 + 2nf + f^2`, và `[x]^2` sẽ là `n^2`.

2. Thay vào phương trình: Thay vào phương trình, ta có:
```
(n + f)^2 + n^2 = k
n^2 + 2nf + f^2 + n^2 = k
2n^2 + 2nf + f^2 = k
```

3. Sắp xếp lại: Ta có thể sắp xếp lại phương trình thành dạng:
```
f^2 + 2nf + 2n^2 - k = 0
```
Đây là một phương trình bậc hai theo `f`.

4. Tính Δ: Để tồn tại nghiệm thực cho `f`, điều kiện là delta (Δ) của phương trình bậc hai này không âm:
```
Δ = (2n)^2 - 4(2n^2 - k) = 4n^2 - 8n^2 + 4k = 4k - 4n^2
```
Điều này nghĩa là `4k - 4n^2 >= 0`, hay `k >= n^2`.

5. Nghiệm trong khoảng f: Giải phương trình bậc hai cho `f`, ta có:
```
f = [-2n ± sqrt(4k - 4n^2)] / 2
```
Điều này dẫn đến:
```
f = -n ± sqrt(k - n^2)
```
Tuy nhiên, do f ∈ [0, 1), ta chỉ lấy nghiệm dương:
```
f = -n + sqrt(k - n^2)
```

6. Điều kiện cho f: Ta cần đảm bảo rằng `-n + sqrt(k - n^2) ∈ [0, 1)`. Điều này tạo ra các bất phương trình:
- `-n + sqrt(k - n^2) >= 0`
- `-n + sqrt(k - n^2) < 1`

Bất phương trình đầu tiên trở thành:
```
sqrt(k - n^2) >= n
```
Bình phương hai vế ta có:
```
k - n^2 >= n^2 => k >= 2n^2
```

Bất phương trình thứ hai trở thành:
```
sqrt(k - n^2) < n + 1
```
Bình phương vế ta có:
```
k - n^2 < (n + 1)^2 => k < n^2 + 2n + 1
```

7. Kết luận: Từ hai điều kiện ta được:
- `k >= 2n^2`
- `k < n^2 + 2n + 1`

Từ đó, ta có:
```
2n^2 <= k < n^2 + 2n + 1
```

Với mỗi giá trị của `n` (n = 0, 1, 2,...), ta có thể tìm được các giá trị tương ứng cho `k` làm cho phương trình có nghiệm.

Ví dụ:
- Nếu `n = 1`, ta có `2*1^2 = 2 <= k < 5`, do đó `k` có thể là 2, 3 hoặc 4.
- Nếu `n = 2`, ta có `8 <= k < 13`, do đó `k` có thể là 8, 9, 10, 11 hoặc 12.

Tóm lại, để giải phương trình ban đầu, ta chỉ cần xác định giá trị của `n` và từ đó tìm các giá trị hợp lệ cho `k` dựa trên hai bất phương trình đã thiết lập.