Tìm n thuộc Z để 2n+3/n+4 là 1 số nguyên Giúp em vs ạ em sẽ vote 5 sao

Để tìm n thuộc Z sao cho biểu thức (2n + 3)/(n + 4) là một số nguyên, ta cần xem xét điều kiện để mẫu số không bằng 0 và phân tích biểu thức.

Ta bắt đầu bằng cách đặt biểu thức:

(2n + 3)/(n + 4) = k (với k là số nguyên)

Từ đó, ta có:

2n + 3 = k(n + 4)

Giải phương trình này, ta có:

2n + 3 = kn + 4k
2n - kn = 4k - 3
n(2 - k) = 4k - 3

Từ đây, để n là số nguyên, thì 4k - 3 phải chia hết cho 2 - k. Nghĩa là:

4k - 3 ≡ 0 (mod 2 - k)

Ta sẽ phân tích trường hợp dựa trên giá trị của k:

1. Nếu k = 2:
Ta có n(2 - 2) = 4(2) - 3
Tức là bất kỳ n nào cũng thỏa mãn (vì 2 - k = 0).

2. Nếu k = 1:
n(2 - 1) = 4(1) - 3
=> n = 1.

3. Nếu k = 0:
n(2 - 0) = 4(0) - 3
=> 2n = -3 không có nghiệm nguyên.

4. Nếu k = -1:
n(2 - (-1)) = 4(-1) - 3
=> 3n = -7, n = -7/3 không có nghiệm nguyên.

5. Nếu k < -1 (giả sử k = -2, -3,...):
Thông thường ta sẽ không có nghiệm nguyên khi giải theo cách này vì các kết quả không dẫn đến một giá trị n nguyên.

Liệt kê các giải pháp vừa tìm được: n = 1 và n là số nguyên bất kỳ với k = 2.

Kết luận: Các giá trị của n thuộc Z cho phép biểu thức (2n + 3)/(n + 4) là số nguyên là n = 1 và n có thể là mọi số nguyên khi k = 2.