Tan a + cot a=m, 0<a<piTìm sin 2a, sin 4a

Chúng ta bắt đầu với phương trình tan a + cot a = m. Ta có thể chuyển cot a về dạng tan a như sau:

cot a = 1/tan a.

Thay vào phương trình ta có:

tan a + 1/tan a = m.

Gọi x = tan a. Phương trình trở thành:

x + 1/x = m.

Nhân cả hai vế với x, ta thu được:

x^2 - mx + 1 = 0.

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta sử dụng công thức nghiệm:

x = (m ± √(m^2 - 4))/2.

Do đó, ta có hai nghiệm của tan a là:

tan a_1 = (m + √(m^2 - 4))/2,
tan a_2 = (m - √(m^2 - 4))/2.

Để tìm sin 2a, ta sử dụng công thức:

sin 2a = 2 sin a cos a = 2 * tan a / (1 + tan^2 a).

Chúng ta có tan a = x, do đó:

sin 2a = 2x / (1 + x^2).

Thay giá trị x vào ta có:

sin 2a = 2(m ± √(m^2 - 4))/2 / (1 + ((m ± √(m^2 - 4))/2)^2).

Giờ chúng ta tìm sin 4a:

sin 4a = 2 sin 2a cos 2a = 2 (2 sin a cos a) (1 - 2 * sin^2 a).

Ta biết rằng:

cos 2a = 1 - 2 * sin^2 a = (1 - tan^2 a)/(1 + tan^2 a).

Và từ đó, dễ dàng sử dụng giá trị đã tìm được:

sin 4a = 2 sin 2a (1 - 2 * sin^2 a).

Cuối cùng, kết hợp để tính toán giá trị cho sin 2a và sin 4a bằng cách thay x là tan a vào các công thức trên, chúng ta sẽ nhận được giá trị của sin 2a và sin 4a tương ứng với kết quả từ tan a.

Kết quả cuối cùng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của m.