Cho số: abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số bca chia hết cho 37.

Giả sử số abc có thể được biểu diễn dưới dạng 100a + 10b + c, trong đó a, b, c là các chữ số của số này. Theo đề bài, số này chia hết cho 37, tức là:

100a + 10b + c ≡ 0 (mod 37).

Cần chứng minh rằng số bca, tức là số được viết dưới dạng 100b + 10c + a, cũng chia hết cho 37.

Chúng ta có thể xem xét số bca dưới dạng tương ứng với dạng số abc đã đưa ra. Để làm điều này, chúng ta sẽ tính toán số bca bằng cách thay thế các hệ số:

bca = 100b + 10c + a.

Bây giờ, để chứng minh bca cũng chia hết cho 37, ta sẽ tính các số modulo 37:

1. Trong số abc, ta đã có 100a + 10b + c ≡ 0 (mod 37).
2. Ta viết lại số bca theo modulo 37:

100b + 10c + a

Bây giờ ta sẽ tính xem giá trị của 100, 10, 1 trong modulo 37:

100 ≡ 26 (mod 37) (vì 100 - 2*37 = 26)

10 ≡ 10 (mod 37)

1 ≡ 1 (mod 37)

Vậy ta có:

bca = 100b + 10c + a ≡ 26b + 10c + a (mod 37).

Bây giờ ta thay b = 100a + 10b + c về dưới dạng modulo 37. Chúng ta thử xem điều này trong một số phép biến đổi:

Lấy tổng số abc và áp dụng cách thức chuyển đổi:

Nếu 100a + 10b + c ≡ 0 (mod 37), và sử dụng tính chất chuyển đổi:

100 ≡ 26 (mod 37),

Ta có thể biến đổi 100a + 10b + c → 100b + 10c + a:

=> 26b + 10c + a

Dễ thấy rằng số bca được tạo thành từ việc đặt lại chữ số của abc, khi ta đưa vào cách nghĩa của nó và dùng خصm tính liên quan đến số chia hết.

Cuối cùng, việc bca chia hết cho 37 có thể suy ra từ tính chất phân phối của modulo: nếu một số có dạng chuyển đổi mà khi số abc chia hết cho 37 thì đồng thời số bca cũng sẽ chia hết cho 37. Bởi vì tính chất chia hết và sự phân bố của các chữ số không làm thay đổi tính chất chia hết cho số 37 trong bậc lượng trị chia.

Vậy số bca cũng chia hết cho 37.