Tồn tại hay không số nguyên p thoả mãn $frac{n(n+1)}{p}$ và $frac{(n+2)(n+3)}{p}$ đều là số lập phương

Để giải bài toán, ta cần xem xét điều kiện để cả hai biểu thức $\frac{n(n+1)}{p}$ và $\frac{(n+2)(n+3)}{p}$ đều là số lập phương.

Gọi $a = \frac{n(n+1)}{p}$ và $b = \frac{(n+2)(n+3)}{p}$, thì cả $a$ và $b$ đều phải là số lập phương. Ta có thể viết lại chúng như sau:

1. \( a = \frac{n(n+1)}{p} = k^3 \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
2. \( b = \frac{(n+2)(n+3)}{p} = m^3 \) với \( m \in \mathbb{Z} \)

Từ đó có thể suy ra:

\[
p = \frac{n(n+1)}{k^3} \quad \text{và} \quad p = \frac{(n+2)(n+3)}{m^3}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{n(n+1)}{k^3} = \frac{(n+2)(n+3)}{m^3}
\]

Khi đó, ta có thể nhân chéo để suy ra:

\[
n(n+1) m^3 = (n+2)(n+3) k^3
\]

Đây là một phương trình giữa các biến \(n\), \(k\), \(m\). Việc tồn tại hoặc không tồn tại số nguyên \(p\) sẽ phụ thuộc vào khả năng giải phương trình này.

Để phân tích sâu hơn, ta cần xét các trường hợp cụ thể cho \(n\). Ví dụ, nếu \(n\) là số nguyên có giá trị cụ thể, ta có thể thử nghiệm để tìm các giá trị có thể của \(p\).

Tuy nhiên, cũng có thể có những trường hợp tổng quát hơn. Một số phương trình sẽ không có nghiệm nguyên vì các số lập phương trải dài hơn và không thỏa mãn điều kiện này.

Do đó, một cách tư duy là thử các giá trị nguyên cho \(n\) và kiểm tra xem liệu có tồn tại \(p\) phù hợp hay không:

- Khi \(n=0\): \(a = 0\), \(b = 6/p\) → chỉ có thể \(p=1\) bây giờ.
- Khi \(n=1\): \(a = 1/p\), \(b = 12/p\) → kết luận không tự nhiên.
- Khi \(n=2\): \(a = 6/p\), \(b = 30/p\) → điều kiện tương tự.

Phân tích các giá trị khác nhau sẽ dẫn đến kết luận về số nguyên \(p\).

Kết luận:
Với điều kiện đã cho, sự tồn tại hay không số nguyên \(p\) thỏa mãn yêu cầu tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \(n\). Tuy nhiên, từ phân tích dưới nhiều giá trị, có thể thấy khó khăn trong việc xác định chính xác tồn tại cho mọi \(n\), mà có thể không tồn tại một số nguyên \(p\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên trừ khi \(n\) trong những trường hợp cụ thể. Do đó, câu hỏi này không có lời giải duy nhất mà chứa nhiều yếu tố phi tuyến tính và không ràng buộc.