Tồn tại hay không số nguyên p thoả mãn $frac{n(n+1)}{p}$ và $frac{(n+2)(n+3)}{p}$ đều là số lập phương

Để tìm số nguyên \( p \) sao cho \( \frac{n(n+1)}{p} \) và \( \frac{(n+2)(n+3)}{p} \) đều là số lập phương, trước tiên ta đặt:

\( \frac{n(n+1)}{p} = a^3 \) (1)
\( \frac{(n+2)(n+3)}{p} = b^3 \) (2)

với \( a \) và \( b \) là các số nguyên.

Từ hai phương trình này, ta suy ra:

\( n(n+1) = a^3 p \) (3)
\( (n+2)(n+3) = b^3 p \) (4)

Chia (4) cho (3):

\[
\frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} = \frac{b^3 p}{a^3 p}
\]

Khi đó, ta có:

\[
\frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} = \frac{b^3}{a^3}
\]

Bây giờ, để tính biểu thức bên trái:

\[
\frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} = \frac{n^2 + 5n + 6}{n^2 + n} = 1 + \frac{4n + 6}{n^2 + n}
\]

Ta thấy rằng biểu thức \( \frac{4n + 6}{n^2 + n} \) sẽ có dấu phụ thuộc vào \( n \). Đối với \( n \geq 0 \), biểu thức này có thể chỉ lớn hơn 1. Nhưng để bậc không biến thiên, giá trị miền của nó cũng sẽ bị giới hạn bởi \( n(n+1) \) và \( (n+2)(n+3) \).

Để \( \frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} \) là một số lập phương \( k^3 \) với \( k \) là số nguyên, và với việc \( \frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} - 1 = \frac{4n + 6}{n^2 + n} = \frac{(4)(n + 1.5)}{n(n + 1)} \) có tính phân số mà không thể là số nguyên trừ khi thỏa mãn một số điều kiện.

Nói cách khác, phải có tồn tại một số nguyên \( p \) sao cho cả \( a^3 \) và \( b^3 \) là lập phương đã nêu. Tuy nhiên, do cấu trúc tự nhiên của hai phương trình đó, số nguyên \( p \) sẽ không tồn tại cho mọi \( n \) mà các điều kiện lập phương này kêu gọi một số ràng buộc giữa \( p, a, b\) qua các dạng bậc hai và bậc ba, tạo nên mâu thuẫn trong số nguyên.

Do đó, ta có thể kết luận rằng không tồn tại số nguyên \( p \) thỏa mãn yêu cầu đã cho cho mọi giá trị của \( n \).