giúp em nha mn ơi, câu này khó ạ

Để giải bài toán này, ta có biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:

P = 3xyz + 5 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right)

với điều kiện x + y + z = 3, trong đó x, y, z là các số thực dương.

Để giải quyết bài toán, ta có thể áp dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức.

1. Biểu thức P: Chúng ta chia biểu thức ra làm hai phần: 3xyz và phần bên trong dấu ngoặc.

2. Hệ số 5: Phần thứ hai (tức phần bên trong dấu ngoặc) có ảnh hưởng đến giá trị của P và cần được tối thiểu hóa.

3. Điều kiện x + y + z = 3: Theo điều kiện này, ta có thể áp dụng Bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình - hình học):

\[
\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \leq 1
\]

4. Theo Bất đẳng thức AM-HM cho phần \(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\):

\[
\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}} \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{9}{x^2 + y^2 + z^2}
\]

5. Xử lý giá trị P: Đặt x = y = z trong trường hợp tối ưu. Từ điều kiện x + y + z = 3 ta có:

\[
x = y = z = 1
\]

Khi đó \(xyz = 1\) và \(x^2 = y^2 = z^2 = 1\). Thay vào biểu thức P:

\[
P = 3(1)(1)(1) + 5 \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2} \right) = 3 + 5(3) = 3 + 15 = 18
\]

6. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi x = y = z = 1, và giá trị đó là:

P_min = 18.

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P khi x + y + z = 3 là 18.