giúp em nha mn ơi, câu này khó ạ

Để giải bài toán này, ta có biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:

P = 3xyz + 5 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right)

với điều kiện x + y + z = 3, trong đó x, y, z là các số thực dương.

Để giải quyết bài toán, ta có thể áp dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức.

1. Biểu thức P: Chúng ta chia biểu thức ra làm hai phần: 3xyz và phần bên trong dấu ngoặc.

2. Hệ số 5: Phần thứ hai (tức phần bên trong dấu ngoặc) có ảnh hưởng đến giá trị của P và cần được tối thiểu hóa.

3. Điều kiện x + y + z = 3: Theo điều kiện này, ta có thể áp dụng Bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình - hình học):

$$\frac{x+y+z}{3}\ge \sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 1\ge \sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le 1$$

4. Theo Bất đẳng thức AM-HM cho phần $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$:

$$\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge \frac{9}{x^2+y^2+z^2}$$

5. Xử lý giá trị P: Đặt x = y = z trong trường hợp tối ưu. Từ điều kiện x + y + z = 3 ta có:

$$x=y=z=1$$

Khi đó $xyz=1$ và $x^2=y^2=z^2=1$. Thay vào biểu thức P:

$$P=3(1)(1)(1)+5(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2})=3+5(3)=3+15=18$$

6. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi x = y = z = 1, và giá trị đó là:

P_min = 18.

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P khi x + y + z = 3 là 18.