Cho ΔABC nhọn, các đường trung tuyến AM,AN cắt nhau tại G. Tren tia BN lấy điểm E sao cho N là trung điểm EG. Chứng minh: a) Tứ giác AGCE là hình bình hành b) Trên tia AM lấy F sao cho. AC=GE. Chứng minh MG=MF, BF//AE c) Để tứ giác AECF

a) Để chứng minh rằng tứ giác AGCE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

Ta biết rằng N là trung điểm của đoạn EG, nghĩa là EN = NG. Vì N là trung điểm của đoạn EQ, ta có GE = 2 * EN.

Trong ΔABG, AM là trung tuyến nên AG = GB. Tương tự, AN là trung tuyến nên AN = NC. Từ đó, ta có:

1. AG // CE (do AM và AN là các trung tuyến).
2. AG = CE.

Nên tứ giác AGCE có cặp cạnh đối diện AG và CE bằng nhau và song song với nhau, do đó, AGCE là hình bình hành.

b) Để chứng minh MG = MF và BF // AE, trước tiên ta sẽ sử dụng tính chất của các đường trung tuyến cùng với việc ta đã chứng minh được tứ giác AGCE là hình bình hành.

Vì AGCE là hình bình hành, ta có GC = AE. Do đó, ta có GE = AC.

Bây giờ, xét điểm F trên tia AM sao cho AC = GE. Vậy thì EC = AC = GE, với việc GC = AE.

Vì N là trung điểm của GE, chúng ta có MG = MF (do G là trung điểm của AF và A là trung điểm của EF). Ngoài ra, BF параллель AE vì AG // CE và ta đã chỉ ra rằng các cạnh này đều bằng nhau.

c) Để tứ giác AECF là hình thang cân, cần điều kiện là hai cạnh đáy AE và CF phải bằng nhau và có các đường cao từ A và C vuông góc với các cạnh đáy.

Trong trường hợp này, điều kiện cần là các góc A và C là bằng nhau hoặc điểm E nằm trên đường thẳng vuông góc với AC tại một điểm nào đó mà tạo ra góc bằng nhau giữa AE và CF.

Điều này có nghĩa là độ dài của AE và CF phải bằng nhau, đồng thời yêu cầu cạnh BC phải song song với cạnh AF, từ đó mới tạo thành một hình thang cân.