Tìm số hạng thứ 80 của dãy số: 5,8,14,24,35,50,...

Để tìm số hạng thứ 80 của dãy số đã cho, trước hết, ta cần xác định quy luật của dãy số này.

Dãy số: 5, 8, 14, 24, 35, 50

Ta sẽ tính các hiệu giữa các số hạng liên tiếp trong dãy:

Số hạng 1: 5
Số hạng 2: 8 -> 8 - 5 = 3
Số hạng 3: 14 -> 14 - 8 = 6
Số hạng 4: 24 -> 24 - 14 = 10
Số hạng 5: 35 -> 35 - 24 = 11
Số hạng 6: 50 -> 50 - 35 = 15

Các hiệu của dãy: 3, 6, 10, 11, 15.

Quy luật các hiệu có vẻ không rõ ràng ngay lập tức, do đó ta tiếp tục tìm hiệu giữa các hiệu:

3 -> 6 -> 10 -> 11 -> 15
Hiệu thứ nhất: 6 - 3 = 3
Hiệu thứ hai: 10 - 6 = 4
Hiệu thứ ba: 11 - 10 = 1
Hiệu thứ tư: 15 - 11 = 4

Các hiệu mới: 3, 4, 1, 4.

Quy luật hiệu thứ ba cũng không dễ hiểu. Chúng ta theo dõi thường xuyên các số hạng đã cho, có thể nhận thấy rằng có sự tăng trưởng không đều. Vì vậy, chúng ta thử tìm một công thức tổng quát cho số hạng thứ n của dãy này.

Ta giả định số hạng thứ n là một hàm bậc hai theo dạng: a_n = An^2 + Bn + C.

Với các số hạng đầu của dãy, ta có ba phương trình như sau:

1. Với n = 1, a_1 = A(1)^2 + B(1) + C = 5
2. Với n = 2, a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 8
3. Với n = 3, a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 14

Ta giải hệ phương trình trên để tìm ra A, B, C.

Từ hệ phương trình:

1. A + B + C = 5
2. 4A + 2B + C = 8
3. 9A + 3B + C = 14

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai, ta có:

(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 8 - 5
=> 3A + B = 3 (1)

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ ba, ta có:

(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 14 - 8
=> 5A + B = 6 (2)

Giải từ hai phương trình (1) và (2):

5A + B - (3A + B) = 6 - 3
=> 2A = 3
=> A = 1.5

Thay A vào phương trình (1):

3(1.5) + B = 3
=> 4.5 + B = 3
=> B = -1.5

Giờ thay A và B vào phương trình (1) để tìm C:

1.5 - 1.5 + C = 5
=> C = 5

Vậy chúng ta có công thức chung:

a_n = 1.5n^2 - 1.5n + 5

Để tìm số hạng thứ 80:

a_80 = 1.5(80)^2 - 1.5(80) + 5
= 1.5(6400) - 120 + 5
= 9600 - 120 + 5
= 9485

Vậy số hạng thứ 80 của dãy là 9485.