cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AC lấy điểm P, từ P vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại Q. Từ Q vẽ đường thẳng song song với AC và cắt BC tại D. 1) so sánh `frac{AQ}{AB}`  và `frac{CD}{BC}` 2) tứ giác PQDC là

1) Để so sánh `frac{AQ}{AB}` và `frac{CD}{BC}`, ta sử dụng tính chất của các đường thẳng song song trong tam giác.

Trong tam giác ABC, điểm P nằm trên tia đối của tia AC, và PQ song song với BC, do đó theo định lý tính toán tỉ số đoạn thẳng, ta có:
- Từ tam giác ABQ, vì PQ // BC nên ta có tỉ số `frac{AQ}{AB} = frac{QP}{AP}`.

Tiếp theo, D được xác định bởi việc kéo dài đường thẳng từ Q song song với AC cắt BC tại D. Từ tam giác BCD, cũng do tính chất song song của PQ và BC, ta có:
- `frac{CD}{BC} = frac{QD}{QC}`.

Từ đây, nhìn vào hai tỉ số, ta thấy rằng vì PQ // BC và QD // AC nên theo định lý tương đương, `frac{AQ}{AB} = frac{CD}{BC}`. Điều này xảy ra do tính chất của tỉ số tương ứng trong các tam giác được tạo thành bởi các đường thẳng song song.

2) Tứ giác PQDC là hình bình hành. Để chứng minh điều này, ta cần xem xét các cặp cạnh song song. Trong tứ giác PQDC:
- PQ // CD (vì PQ song song với BC và CD cũng song song với AQ, mà AQ song song với BC)
- QC // PD (theo định lý tương tự từ đường thẳng song song và cắt nhau).

Hai cặp cạnh đối diện song song cho ta kết luận rằng PQDC là hình bình hành, vì hai cặp cạnh song song là một đặc điểm chính của hình bình hành.