Cho tam giác ABC ( AB < AC ). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B,C trên phân giác trong của góc A. Gọi K là giao điểm của FB và CE. Chứng minh:AK là phân giác ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC. VẼ HÌNH VÀ

Để chứng minh rằng AK là phân giác ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

1. Vẽ hình:
- Vẽ tam giác ABC với AB < AC.
- Vẽ phân giác trong của góc A, cắt BC tại D.
- Vẽ hình chiếu B trên phân giác trong, gọi là E.
- Vẽ hình chiếu C trên phân giác trong, gọi là F.
- Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng FB và CE.

2. Chứng minh AK là phân giác ngoài:
- Trước tiên, ta cần sử dụng định nghĩa phân giác ngoài của một góc.
- Theo định nghĩa, phân giác ngoài của góc A là một đường thẳng đi qua A và chia góc A thành hai góc sao cho góc A1BF và góc A2CE có tỉ lệ với các cạnh đối diện của tam giác ABC (tức là tỷ lệ AB và AC).

3. Chứng minh tỉ lệ:
- Ta có hai tam giác BAE và CAF.
- Mỗi tam giác này có một góc chung là góc A.
- Các góc BAE và CAF tương ứng với các góc A1BF và A2CE.
- Theo định lý về hình chiếu, ta có AB/AC = BE/CF.
- Vì E và F là hình chiếu của B và C trên phân giác trong, nên có mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn này.

4. Áp dụng định lý về tỷ lệ:
- Do đó, ta có tỉ lệ:
AB/AC = BE/CF
- Từ đó, kết luận rằng AK cắt BC tại K sẽ tạo thành phân giác ngoài của góc A.

5. Kết luận:
- Với các bước chứng minh ở trên, ta đã chỉ ra rằng AK chia góc A thành hai góc tỷ lệ với các cạnh đang xét, tức là AK là phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

Như vậy, ta đã chứng minh thành công AK là phân giác ngoài của tam giác ABC dựa trên các định lý và tính chất của tam giác cũng như phân giác.