mình xin lời giải nhé.

Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức T đã cho. Biểu thức có dạng:

T = 2(a + b)^{-1} (ab)^{1/2} \left[ 1 + \frac{1}{4} \left( \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} \right)^{2} \right]^{1/2}

1. Phân tích biểu thức:
- Ta nhận thấy rằng a > 0 và b > 0. Do đó, \( a+b > 0 \) và \( ab > 0 \).
- Cũng vậy, \( \sqrt{\frac{a}{b}} \) và \( \sqrt{\frac{b}{a}} \) đều có giá trị dương.

2. Tính giá trị của phần trong dấu ngoặc vuông:
- Đặt \( x = \sqrt{\frac{a}{b}} \) và \( y = \sqrt{\frac{b}{a}} \). Từ đó, ta có \( x \cdot y = 1 \).
- Khi đó, \( x - y = \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{a - b}{\sqrt{ab}} \).

3. Chuyển đổi:
- Tính giá trị biểu thức dưới dấu căn:
- \( \left( \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}} \right)^{2} = \left( \frac{a - b}{\sqrt{ab}} \right)^{2} = \frac{(a - b)^{2}}{ab} \).

4. Thay thế vào T:
- Như vậy, chúng ta có:
- T = 2(a + b)^{-1}(ab)^{1/2} \left[ 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{(a - b)^{2}}{ab} \right]^{1/2}.

5. Tiếp tục tính toán:
- T = 2(a + b)^{-1} (ab)^{1/2} \left[ \frac{4ab + (a - b)^{2}}{4ab} \right]^{1/2} = 2(a + b)^{-1} (ab)^{1/2} \frac{\sqrt{4ab + (a - b)^{2}}}{2\sqrt{ab}}.
- Kết quả cuối cùng:
- T = (a + b)^{-1} \sqrt{4ab + (a - b)^{2}}.

Khi này, \( 4ab + (a - b)^{2} \) được tối giản và tính toán cụ thể còn phụ thuộc vào giá trị của a và b. Tuy nhiên, biểu thức cuối được tính từ các điều kiện a > 0 và b > 0 sẽ cho ra được giá trị dương cho T.