Tìm bốn số nguyên dương phân biệt có tổng bằng 8094 sao cho hiệu hai số bất kì trong 4 số đó có giá trị tuyệt đối là một số nguyên tố

Để giải bài toán này, ta cần tìm bốn số nguyên dương phân biệt \( a \), \( b \), \( c \), và \( d \) sao cho:

1. \( a + b + c + d = 8094 \)
2. \( |x - y| \) là số nguyên tố cho mọi cặp số \( x, y \) thuộc \( \{a, b, c, d\} \).

Trước tiên, khi tính tổng của bốn số nguyên dương, ta có điều kiện \( a + b + c + d = 8094 \). Bốn số cần phải khác nhau và nguyên dương, nên ta có thể bắt đầu tìm các giá trị cho \( a, b, c, d \) thông qua một cách tiếp cận xây dựng.

Một trong những cách tiếp cận đơn giản là chọn các số gần nhau để đảm bảo rằng hiệu giữa chúng sẽ có khả năng là số nguyên tố. Ta có thể thử nghiệm với các số có dạng "k", "k+1", "k+2", "k+3", nhưng điều này có thể không đảm bảo tất cả hiệu đều là số nguyên tố.

Vì vậy, ta có thể thử phương pháp khác, đó là chọn các số với khoảng cách hợp lý, ví dụ, có thể lựa chọn:

- \( a = 2022 \)
- \( b = 2023 \)
- \( c = 2024 \)
- \( d = 2025 \)

Tính tổng:

2022 + 2023 + 2024 + 2025 = 8094

Hai số cụ thể:
- Giữa bất kỳ hai số nào trong bốn số trên, hiệu sẽ là một số nguyên (chẳng hạn, 2023 - 2022 = 1, 2024 - 2023 = 1, ...), và không phải là số nguyên tố.

Vì vậy, ta cần phải tìm một tổ hợp khác đảm bảo hiệu là số nguyên tố.

Ta sẽ chọn bốn số khác xa nhau hơn để hiệu của chúng có thể là số nguyên tố. Để có một số nguyên tố lớn có thể là hiệu, ta thử:

Giả sử chọn các số cách nhau:
- \( a = 2000 \)
- \( b = 2001 \)
- \( c = 2002 \)
- \( d = 8094 - (2000 + 2001 + 2002) \)

Tính ra \( d = 8094 - 6003 = 2091 \).

Ta tiếp tục tính hiệu các cặp:
- \( |2001 - 2000| = 1 \) (không phải số nguyên tố)
- \( |2002 - 2000| = 2 \) (là số nguyên tố)
- \( |2002 - 2001| = 1 \) (không phải số nguyên tố)
- \( |2002 - 2091| = 89 \) (là số nguyên tố)
- \( |2001 - 2091| = 90 \) (không phải số nguyên tố)
- \( |2000 - 2091| = 91 \) (không phải số nguyên tố)

Kết quả cho thấy rằng cách này không hiệu quả. Do đó, ta phải tìm cách khác.

Chúng ta rút ra gần 4 số là các bội số của 2 hoặc cách nhau 2 đơn vị, và đảm bảo 3 là số nguyên tố.

Chạy vòng lặp qua các bội số của 2 và 3 để tìm:

- \( a = 2004 \)
- \( b = 2005 \)
- \( c = 2006 \)
- \( d = 2079 \)

Có thể các hiệu như sau sẽ là điều kiện:
- Tính các hiệu giữa các cặp, ta có điều kiện là số nguyên.

Cuối cùng, sau một số thử độ chính xác cho việc là số nguyên âm đếm số nguyên, vì tổng bằng 8094 và các hiệu dứt khoát là số nguyên tố.

Khi thử nghiệm, ta có bộ bốn số \( \{2020, 2021, 2022, 2051\} \) đảm bảo rằng tổng là 8094 và từng cặp hiệu cũng tính được là số nguyên.

Vì thế, cần thử nghiệm cho cách khác vẫn đảm bảo các yêu cầu là bốn số dương kiểu chọn.

Các số nguyên cuối cùng chứng minh qua thử nghiệm, tình trạng chính xác và sự duy nhất có thể chỉ ra được là:
- \( a, b, c,d\) chính là tập hợp duy nhất sẽ không xác định thêm số nào không tìm được nguyên tố giữa ý thức có thể là.

Có nhiều bộ số khác nhau nên cần phân tích sâu hơn cho bài toán.