(A = dfrac{{sqrt x  + 1}}{{sqrt x  - 1}} + dfrac{{sqrt x  - 1}}{{sqrt x  + 1}} - dfrac{{3sqrt x  + 1}}{{x - 1}}) với (x ge 0,x e 1).  `c)` `A=1/2=>x=` `d)` Tìm `x``in``Z` để `AinZ`

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần đơn giản hóa biểu thức \(A\).

Bắt đầu với biểu thức:

\[
A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}
\]

Ta sẽ thực hiện phép rút gọn từng phần trong biểu thức:

1. Rút gọn hai phần đầu tiên:
Đặt \(y = \sqrt{x}\), vậy \(x = y^2\). Thay \(y\) vào trong các biểu thức, ta có:

\[
A = \dfrac{{y + 1}}{{y - 1}} + \dfrac{{y - 1}}{{y + 1}} - \dfrac{{3y + 1}}{{y^2 - 1}}
\]

Rút gọn hai phần đầu tiên:

\[
A_1 = \dfrac{{y + 1}}{{y - 1}} + \dfrac{{y - 1}}{{y + 1}} = \dfrac{(y + 1)^2 + (y - 1)^2}{(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{(y^2 + 2y + 1) + (y^2 - 2y + 1)}{(y^2 - 1)}
\]

\[
= \dfrac{2y^2 + 2}{y^2 - 1} = \dfrac{2(y^2 + 1)}{(y - 1)(y + 1)}
\]

2. Phần ba: Rút gọn nó cũng tương tự, ta có

\[
A_2 = - \dfrac{{3y + 1}}{{y^2 - 1}} = -\dfrac{{3y + 1}}{{(y - 1)(y + 1)}}
\]

Khi này, chúng ta có:

\[
A = \dfrac{2(y^2 + 1) - (3y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{2y^2 + 2 - 3y - 1}{(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{2y^2 - 3y + 1}{(y - 1)(y + 1)}
\]

Tiếp theo, để tính từng phần trong A, ta sẽ tìm điều kiện \(A = \dfrac{1}{2}\).

Giải phương trình:

\[
\dfrac{2y^2 - 3y + 1}{(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{1}{2}
\]

Nhân chéo:

\[
2(2y^2 - 3y + 1) = (y - 1)(y + 1)
\]
\[
4y^2 - 6y + 2 = y^2 - 1
\]
\[
3y^2 - 6y + 3 = 0
\]

Chia bằng 3:

\[
y^2 - 2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y - 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]

Từ đó ta có:

\(\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\). Nhưng do điều kiện \(x \ne 1\), nên không có nghiệm cho phần c).

Phần d): Tìm \(x\) để \(A \in \mathbb{Z}\).

Xét lại biểu thức:

\[
A = \dfrac{2y^2 - 3y + 1}{(y - 1)(y + 1)}
\]

Để \(A\) là số nguyên, tử số \(2y^2 - 3y + 1\) phải chia hết cho mẫu số \((y - 1)(y + 1)\).

Bây giờ, để tìm các giá trị của \(y\) (với \(y\) nguyên), ta thử các giá trị \(y \ge 0\) và không bằng 1:

- \(y = 0 \Rightarrow A = \dfrac{1}{1} = 1 \in \mathbb{Z}\)
- \(y = 2 \Rightarrow A = \dfrac{2(4) - 3(2) + 1}{(2 - 1)(2 + 1)} = \dfrac{8 - 6 + 1}{1 \cdot 3} = \dfrac{3}{3} = 1 \in \mathbb{Z}\)
- Các giá trị lớn hơn có thể sẽ không mang lại các giá trị nguyên đưa ra với A là nguyên.

Cho tụ lại, các giá trị \(x = 0, 4\).

Vậy kết quả là: \(x = 0\) và \(x = 4\) đều là những giá trị trong \(\mathbb{Z}\) mà \(A\) cũng thuộc \(\mathbb{Z}\).