Tính các nguyên hàm sau

1. Tính nguyên hàm của biểu thức:

∫ (cos²x - √(1/x²) + 1/x³ + sin x) dx

Đầu tiên, ta chia nguyên hàm thành từng phần:
- ∫ cos²x dx. Sử dụng công thức cos²x = (1 + cos(2x))/2, ta có:
∫ cos²x dx = (1/2) ∫ (1 + cos(2x)) dx = (1/2)(x + (1/2)sin(2x)) + C₁.

- ∫ -√(1/x²) dx = ∫ -1/|x| dx = -ln|x| + C₂.

- ∫ 1/x³ dx. Sử dụng quy tắc nguyên hàm: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, với n = -3:
∫ 1/x³ dx = -1/(2x²) + C₃.

- ∫ sin x dx = -cos x + C₄.

Ghép lại, ta có:
∫ (cos²x - √(1/x²) + 1/x³ + sin x) dx = (1/2)(x + (1/2)sin(2x)) - ln|x| - 1/(2x²) - cos x + C.

2. Tính nguyên hàm của biểu thức:

∫ (cos x - 1/(2sin²x) + 1/x² + 3/x³) dx

- ∫ cos x dx = sin x + C₁.

- ∫ -1/(2sin²x) dx = -1/2 ∫ csc²x dx = -1/2 (-cot x) = (1/2)cot x + C₂.

- ∫ 1/x² dx = -1/x + C₃.

- ∫ 3/x³ dx = 3*(-1/2x²) = -3/(2x²) + C₄.

Ghép lại, ta có:
∫ (cos x - 1/(2sin²x) + 1/x² + 3/x³) dx = sin x + (1/2)cot x - 1/x - 3/(2x²) + C.

3. Tính nguyên hàm của biểu thức:

∫ (1/sin²x + 3/4 cos x + x⁵/4 - 3/x³ + 1/(sin³x)) dx

- ∫ 1/sin²x dx = -cot x + C₁.

- ∫ (3/4) cos x dx = (3/4) sin x + C₂.

- ∫ (x⁵/4) dx = (1/24)x⁶ + C₃.

- ∫ (-3/x³) dx = (3/(2x²)) + C₄.

- ∫ (1/sin³x) dx, có thể sử dụng tích phân từng phần hoặc các công thức đặc biệt nhưng khá phức tạp. Giả sử ta để nó là I, và sẽ tính I sau.

Ghép lại, ta có:
∫ (1/sin²x + 3/4 cos x + x⁵/4 - 3/x³ + 1/(sin³x)) dx = -cot x + (3/4) sin x + (1/24)x⁶ + (3/(2x²)) + I + C.

Lưu ý: Phần nguyên hàm ∫ (1/sin³x) dx có thể được xử lý căn bản hơn bằng phương pháp khai triển hoặc đổi biến, tùy thuộc vào cần thiết cụ thể trong bài toán.