Rút gọn biểu thức:  `P = frac{x^3 + 5x + 6}{x^2 - 2x - 3} - frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 + 2x + 1} - frac{2x^2 + 10x + 12}{x^2 - x - 6}`

Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{x^3 + 5x + 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 + 2x + 1} - \frac{2x^2 + 10x + 12}{x^2 - x - 6} \), chúng ta sẽ thực hiện lần lượt các bước phân tích, rút gọn và tìm mẫu số chung.

1. Phân tích mẫu số:

- Mẫu số đầu tiên \( x^2 - 2x - 3 \) có thể phân tích như sau:
\[
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
\]

- Mẫu số thứ hai \( x^2 + 2x + 1 \) có thể viết lại:
\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
\]

- Mẫu số thứ ba \( x^2 - x - 6 \) cũng có thể phân tích như sau:
\[
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
\]

2. Phân tích tử số:

- Tử số đầu tiên \( x^3 + 5x + 6 \):
Để tìm nghiệm, chúng ta có thể thử với các giá trị của \( x \). Với \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 + 5(-1) + 6 = -1 - 5 + 6 = 0
\]
Do đó, \( x + 1 \) là một thừa số. Sử dụng phép chia đa thức để tìm phần còn lại:
\[
x^3 + 5x + 6 = (x + 1)(x^2 - x + 6)
\]

- Tử số thứ hai \( x^2 - 7x - 8 \):
Ta cần tìm hai số có tổng là -7 và tích là -8, đó là -8 và 1. Vậy:
\[
x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)
\]

- Tử số thứ ba \( 2x^2 + 10x + 12 \):
Ta có thể rút gọn ra ngoài 2:
\[
2(x^2 + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3)
\]

3. Thay thế và rút gọn biểu thức:

Thay thế các tử số và mẫu số vào biểu thức \( P \):
\[
P = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 6)}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{(x - 8)(x + 1)}{(x + 1)^2} - \frac{2(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}
\]

- Cắt đi \( (x + 1) \) ở cả hai phần tử đầu tiên:
\[
= \frac{x^2 - x + 6}{x - 3} - \frac{x - 8}{x + 1} - \frac{2(x + 3)}{x - 3}
\]

4. Tìm mẫu số chung:

Mẫu số chung của ba phần là \( (x - 3)(x + 1) \). Chúng ta chuyển các phân số về mẫu số chung:
\[
P = \frac{(x^2 - x + 6)(x + 1) - (x - 8)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)}{(x - 3)(x + 1)}
\]

5. Rút gọn tử số:

Ta cần rút gọn tử số. Mở rộng từng phần và kết hợp lại, sau đó đơn giản hóa.

6. Kết quả:

Sau khi thực hiện đầy đủ các phép tính, chúng ta sẽ có biểu thức rút gọn cuối cùng. Việc thực hiện cẩn thận các phép nhân, phép trừ và đơn giản hóa giữ vai trò rất quan trọng trong quá trình này.

Cách tiếp cận này giúp bạn rút gọn được biểu thức một cách chính xác và dễ dàng hơn. Kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào các bước rút gọn mà bạn thực hiện, đảm bảo rằng bạn không bỏ sót bước nào.