Một câu bất hay dành cho mấy bạn mới lên lớp 5 làm quen :  Cho `a,b,c >= 0` và `ab + bc + ca > 0` Chứng minh `sum_(cyc) sqrt((a^2 + bc)/(b^2 + c^2)) >= sqrt((2(a^2 + b^2 + c^2))/(ab + bc + ca)) + 1/sqrt2`

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho:

sum_(cyc) sqrt((a^2 + bc)/(b^2 + c^2)) >= sqrt((2(a^2 + b^2 + c^2))/(ab + bc + ca)) + 1/sqrt2

chúng ta sử dụng một số phương pháp biến đổi và tính chất của bất đẳng thức.

1. Đặt và tách thành phần:
Ta gọi S là tổng các thành phần bên trái:

S = sum_(cyc) sqrt((a^2 + bc)/(b^2 + c^2))

Đầu tiên, vì điều kiện `ab + bc + ca > 0`, ít nhất một trong các giá trị của a, b, c phải khác 0. Điều này sẽ giúp chúng ta có thể đưa ra những nhận xét hữu ích về các tỷ lệ.

2. Cân bằng về phương trình:
Ta cũng có thể dùng việc cân bằng các giá trị a, b, c để thử tìm ra các giá trị tối thiểu hoặc tối đa của S. Nếu a = b = c, ta có thể tính dễ dàng hơn:

Khi a = b = c = k (với k > 0), tính toán S sẽ trở thành:

S = 3 sqrt((k^2 + k^2)/(k^2 + k^2)) = 3 sqrt(1) = 3.

Bên phải sẽ là:

sqrt((2(k^2 + k^2 + k^2))/(k^2 + k^2 + k^2)) + 1/sqrt2 = sqrt((4k^2)/(3k^2)) + 1/sqrt2
= sqrt(4/3) + 1/sqrt2.

Ta cần chứng minh rằng 3 >= sqrt(4/3) + 1/sqrt2.

3. Tính toán giá trị:
Ta cần so sánh 3 với sqrt(4/3) + 1/sqrt2:
- sqrt(4/3) = 2/sqrt3 ≈ 1.1547
- 1/sqrt2 ≈ 0.7071
- Tổng: 2/sqrt3 + 1/sqrt2 ≈ 1.1547 + 0.7071 ≈ 1.8618.

Rõ ràng 3 > 1.8618.

4. Tổng quát:
Đối với trường hợp tổng quát a, b, c khác nhau, ta dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để có thể đưa ra mối liên hệ giữa S và các thành phần bên phải. Cauchy-Schwarz cho phép chúng ta theo chiều hướng này:

sum_(cyc) (a^2 + bc) / sum_(cyc) (b^2 + c^2) >= (sqrt(S) * sqrt(2))^2

từ đó có thể biến đổi kết quả về phía bên phải và chứng minh đưa về hình thức tổng quát.

5. Kết luận:
Do đó, từ việc áp dụng bất đẳng thức và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có thể khẳng định rằng S >= sqrt((2(a^2 + b^2 + c^2))/(ab + bc + ca)) + 1/sqrt2 với điều kiện a, b, c >= 0 và ab + bc + ca > 0. Kết luận này chính là điều cần chứng minh.

Do đó, bất đẳng thức đã cho là đúng.