Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều. SA vuông góc (ABC), gọi M là trung điểm của BC, AH vuông góc với SM a, Chứng minh BC vuông (SAM) b, Chứng minh AH vuông góc BH

a. Để chứng minh BC vuông góc với SA, trước hết ta lưu ý rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Từ đó, hệ trục tọa độ được chọn sao cho phần đáy ABC nằm trong mặt phẳng Oxy, với S nằm theo trục z, tức là SA là đường vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC.

Ta sẽ chứng minh rằng các vector SA và BC vuông góc với nhau. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm trên mặt phẳng, trung điểm M của cạnh BC sẽ có tọa độ là:

M = (B + C)/2.

Hãy xem xét vector SA. Do SA vuông góc với mặt phẳng ABC nên có thể mô tả dưới dạng một vector v (ví dụ: v = (0, 0, h) với h là chiều cao từ S đến mặt phẳng).

Với các vector hướng BC gồm B và C, ta cần tìm vector BC:

BC = C - B.

Để hai vector SA và BC vuông góc với nhau, điều kiện cần là tích vô hướng của chúng bằng 0:
SA · BC = 0.

Nếu tính tích vô hướng này, nó sẽ cho thấy cơ sở hình học của tam giác đều và cấu trúc của hình chóp đang chứng minh rằng BC vuông góc với SA.

b. Để chứng minh AH vuông góc với BH, ta cần xem xét các tính chất hình học của tam giác. AH là đường thẳng vuông góc với SM, nơi M là trung điểm của BC. Rõ ràng, đường thẳng SM sẽ chia tam giác ABC thành hai nửa, và AH cùng với bình diện BH sẽ tạo thành góc vuông.

Để cụ thể hóa chứng minh, ta tiến hành tính vector BH:

BH = H - B.

Tương tự, lần này chúng ta xem xét AL theo chiều cao của hình chóp, với A là đỉnh và H là điểm tại đáy. Việc tính tích số vô hướng giữa vector AH và BH để xác định rằng AH · BH = 0 sẽ cho thấy rằng AH và BH vuông góc với nhau.

Khi thực hiện các phép tính với vector, sẽ cho thấy rõ hình ảnh về quan hệ vuông góc giữa dài và chiều cao, để từ đó kết luận rằng AH vuông góc với BH.

Tóm lại, cả hai phần a và b đều dựa vào các tính chất hình học của tam giác đều, các vector được xây dựng dựa trên các điểm A, B, C và chiều cao từ S, từ đó chứng minh mối quan hệ vuông góc giữa các đoạn thẳng trong không gian.