CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC:$\$ `(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)`

Để chứng minh hằng đẳng thức:

\[(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)\]

chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách mở rộng vế trái của hằng đẳng thức.

1. Mở rộng vế trái \((a+b+c)^3\):

Sử dụng công thức khai triển lập phương:

\[
(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x)
\]

Ta thay \(x = a\), \(y = b\), \(z = c\):

\[
(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]

Như vậy, chúng ta sẽ kiểm tra xem cụ thể \(3(a+b)(b+c)(c+a)\) bằng bao nhiêu khi ta khai triển nó.

2. Tính toán \(3(a+b)(b+c)(c+a)\):

Ta bắt đầu bằng việc tìm tích \((a+b)(b+c)(c+a)\).

- Tính \((a+b)(b+c)\):

\[
(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc
\]

- Tiếp theo, nhân kết quả vừa rồi với \((c+a)\):

\[
(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = ab(c+a) + ac(c+a) + b^2(c+a) + bc(c+a)
\]

Áp dụng phân phối cho từng hạng tử:

- Từ \(ab(c+a)\):

\[
abc + a^2b
\]

- Từ \(ac(c+a)\):

\[
ac^2 + a^2c
\]

- Từ \(b^2(c+a)\):

\[
b^2c + ab^2
\]

- Từ \(bc(c+a)\):

\[
bc^2 + abc
\]

Bây giờ, cộng tất cả các hạng tử lại với nhau:

\[
abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + 2abc
\]

Kết quả là:

\[
a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + 3abc
\]

3. Nhân với 3:

Bây giờ ta nhân kết quả này với 3 để thu được \(3(a+b)(b+c)(c+a)\):

\[
3(a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + 3abc)
\]

4. So sánh với \((a+b+c)^3\):

Lúc này, chúng ta có:

\[
3(a+b)(b+c)(c+a) = 3(a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + 3abc)
\]

Khi chúng ta khai triển \((a+b+c)^3\):

\[
a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + 3abc)
\]

Kết luận rằng:

\[
(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)
\]

Vậy hằng đẳng thức đã được chứng minh.