CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC:$$ `(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)`

Để chứng minh hằng đẳng thức:

$$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$

chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách mở rộng vế trái của hằng đẳng thức.

1. Mở rộng vế trái $(a+b+c{)}^3$:

Sử dụng công thức khai triển lập phương:

$$(x+y+z{)}^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$$

Ta thay $x=a$, $y=b$, $z=c$:

$$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$

Như vậy, chúng ta sẽ kiểm tra xem cụ thể $3(a+b)(b+c)(c+a)$ bằng bao nhiêu khi ta khai triển nó.

2. Tính toán $3(a+b)(b+c)(c+a)$:

Ta bắt đầu bằng việc tìm tích $(a+b)(b+c)(c+a)$.

- Tính $(a+b)(b+c)$:

$$(a+b)(b+c)=ab+ac+b^2+bc$$

- Tiếp theo, nhân kết quả vừa rồi với $(c+a)$:

$$(ab+ac+b^2+bc)(c+a)=ab(c+a)+ac(c+a)+b^2(c+a)+bc(c+a)$$

Áp dụng phân phối cho từng hạng tử:

- Từ $ab(c+a)$:

$$abc+a^{2}b$$

- Từ $ac(c+a)$:

$$a{c}^2+a^{2}c$$

- Từ $b^2(c+a)$:

$$b^{2}c+a{b}^2$$

- Từ $bc(c+a)$:

$$b{c}^2+abc$$

Bây giờ, cộng tất cả các hạng tử lại với nhau:

$$abc+a^{2}b+a{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+a{b}^2+2abc$$

Kết quả là:

$$a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+3abc$$

3. Nhân với 3:

Bây giờ ta nhân kết quả này với 3 để thu được $3(a+b)(b+c)(c+a)$:

$$3(a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+3abc)$$

4. So sánh với $(a+b+c{)}^3$:

Lúc này, chúng ta có:

$$3(a+b)(b+c)(c+a)=3(a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+3abc)$$

Khi chúng ta khai triển $(a+b+c{)}^3$:

$$a^3+b^3+c^3+3(a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+3abc)$$

Kết luận rằng:

$$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$

Vậy hằng đẳng thức đã được chứng minh.