Tìm 2 số x và y biết tích của chúng bằng 2 và tổng lập phương của chúng bằng -9

Để tìm hai số \( x \) và \( y \) với điều kiện rằng tích của chúng bằng 2 và tổng lập phương của chúng bằng -9, chúng ta có thể viết các phương trình như sau:

1. \( xy = 2 \) (tích của \( x \) và \( y \))
2. \( x^3 + y^3 = -9 \) (tổng lập phương của \( x \) và \( y \))

Chúng ta biết rằng \( x^3 + y^3 \) có thể được viết dưới dạng:
\[ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \]

Đầu tiên, từ phương trình đầu tiên \( xy = 2 \), chúng ta có thể biến đổi phương trình thứ hai.

Để sử dụng công thức phân tích, chúng ta cần biết \( x + y \). Gọi \( s = x + y \). Từ đó, chúng ta có:

\[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2 \cdot 2 = s^2 - 4 \]

Thay vào công thức \( x^3 + y^3 \), ta được:

\[ x^3 + y^3 = s((s^2 - 4) - 2) = s(s^2 - 6) \]

Bây giờ, chúng ta thay thế vào phương trình \( x^3 + y^3 = -9 \):

\[ s(s^2 - 6) = -9 \]

Giờ chúng ta có phương trình sau:

\[ s^3 - 6s + 9 = 0 \]

Ta có thể thử tìm nghiệm của phương trình này bằng cách thử các giá trị số nguyên.

Thử \( s = -3 \):

\[ (-3)^3 - 6(-3) + 9 = -27 + 18 + 9 = 0 \]

Vậy nên \( s = -3 \) là một nghiệm của phương trình. Bây giờ, sử dụng \( s = -3 \), chúng ta có:

1. \( x + y = -3 \)
2. \( xy = 2 \)

Đặt \( x \) và \( y \) là hai nghiệm của phương trình bậc 2 sau:

\[ t^2 - st + p = 0 \]
\[ t^2 + 3t + 2 = 0 \]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

\[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \]
\[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \]
\[ t = \frac{-3 \pm 1}{2} \]

Chúng ta tìm được hai giá trị:

1. \( t_1 = \frac{-2}{2} = -1 \)
2. \( t_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)

Vậy \( x \) và \( y \) là hai số \( -1 \) và \( -2 \). Kiểm tra lại điều kiện:

- Tích: \( -1 \cdot -2 = 2 \) (đúng)
- Tổng lập phương: \( (-1)^3 + (-2)^3 = -1 - 8 = -9 \) (đúng)

Vậy nghiệm \( x = -1 \), \( y = -2 \) là chính xác.