cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Kẻ HE vuông góc với AB tại e, HF vuông góc với AC tại F a) CM: tứ giác AEGF là hình chữ nhật b) Trên tia đối của tia He lấy D sao cho H là trung

a) Để chứng minh tứ giác AEGF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau hoặc một trong bốn góc của tứ giác này là góc vuông.

- Từ định nghĩa, AH là đường cao trong tam giác vuông ABC, nên AH vuông góc với BC. Do đó, góc AHB = 90 độ.
- Kẻ HE vuông góc với AB tại e, tức là AH vuông góc với HE (vì HE là đường vuông góc với AB).
- Tương tự, ta có HF vuông góc với AC tại F, do đó AH vuông góc với HF.

Điều này cho thấy AG và AE đều vuông góc với HF và HE. Vậy hai cặp góc AEG và AEF đều là 90 độ. Khi đó, tứ giác AEGF có bốn góc vuông, vậy tứ giác này là hình chữ nhật.

b) Đặt D trên tia đối của HE sao cho H là trung điểm ED. Điều này có nghĩa là HD = HE. Tương tự, đặt I trên tia đối của FH sao cho F là trung điểm HI, tức là FI = FH.

- Chúng ta biết H là trung điểm của ED và F là trung điểm của HI. Vì H là trung điểm của đoạn ED và I là điểm thuộc trên đường nối từ F, nên ta có thể kết luận được rằng AH // CI và HF // AE.
- Xét tứ giác AHCI, ta thấy hai cặp cạnh đối diện tương ứng (AH và CI, và HC và AI) đều song song. Theo định nghĩa, tứ giác AHCI là hình bình hành.

c) Từ tính chất của điểm K nằm trên đường thẳng DE, ta có DE = DH + HE = HD + HE = 2HE. Khi AH cắt DE tại K, theo định nghĩa HD = HE (vì H là trung điểm) nên ta có H là trung điểm của đoạn KI.

Kết luận, A là trung điểm của KI bởi vì K là điểm cắt và H là trung điểm của DE, cũng như F là trung điểm của HI, điều này cho thấy rằng A, H, K là đều nằm trên một đường thẳng. Do đó, A là trung điểm của đoạn thẳng KI.