Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 6 và chữ số 3

Để tìm số lượng số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 mà luôn có mặt chữ số 6 và chữ số 3, ta thực hiện như sau:

1. Chọn các chữ số: Bởi vì số cần có chữ số 6 và 3, chúng ta đã có 2 chữ số. Ta cần chọn thêm 3 chữ số khác từ các chữ số còn lại: 0, 1, 2, 4, 5, 7.

Danh sách các chữ số còn lại là: 0, 1, 2, 4, 5, 7 (6 chữ số).

Chúng ta cần chọn 3 chữ số từ 6 chữ số này.

2. Số cách chọn 3 chữ số từ 6 chữ số: Số cách chọn 3 chữ số từ 6 chữ số là:
C(6, 3) = 6! / (3!(6-3)!) = 6 × 5 × 4 / (3 × 2 × 1) = 20.

3. Sắp xếp 5 chữ số: Sau khi chọn 5 chữ số (bao gồm 3 chữ số đã chọn và 6, 3), cần sắp xếp 5 chữ số này thành một số. Tuy nhiên, ta cần chú ý rằng số không thể bắt đầu bằng 0.

- Nếu có chứa chữ số 0 trong 5 chữ số đã chọn, ta sẽ có 4 chữ số còn lại có thể đứng đầu (trừ số 0). Giả sử ta có các chữ số a, b, c, 6, 3, với một trong số a, b, c là 0, có các cách sắp xếp khác nhau:
- Số cách chọn chữ số đứng đầu (không phải là 0) là 4 lựa chọn.
- Số cách sắp xếp 5 chữ số còn lại là 4! = 24.

- Tuy nhiên, nếu 0 không nằm trong 5 chữ số đã chọn, thì số đứng đầu có thể là bất kỳ chữ số nào trong 5 chữ số và có 5 lựa chọn. Số cách sắp xếp là cũng tương tự với 4! = 24.

4. Tính tổng hợp số cách:
- Nếu 0 được chọn (hệ số 20 từ cách chọn):
- Số cách sắp xếp sẽ là 4 × 4! = 4 × 24 = 96.
- Nếu 0 không được chọn (sẽ có 1 từ trong 20 cách chọn):
- Mỗi cách sắp xếp sẽ là 5 × 4! = 5 × 24 = 120.

5. Tìm tổng số cách:
Tổng số cách = Số cách nếu có 0 được chọn + Số cách nếu không có 0 được chọn.

Giả sử có p chữ số của chúng ta có 0 và q không có 0. Trong trường hợp 20 chọn ra thì p chọn một cách.

Tính dần ta sẽ có phần cuối:

Tổng số cách = 20 * (96 + 120).

Suy ra tổng hợp sẽ là các cách từ:

Từ đó ta có kết quả tổng:

Kết quả cuối cùng là 16.320.