Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Từ H kẻ HM vuông góc với AB (M ∈ AB), kẻ HN vuông góc với AC (N ∈ AC) a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. b) Gọi I là trung điểm của HC,

a) Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện của nó bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau. Theo định nghĩa, tứ giác AMHN được cấu thành từ các đoạn thẳng:

- AH vuông góc với AB (tại H)
- AH vuông góc với AC (tại H)
- HM vuông góc với AB (tại M)
- HN vuông góc với AC (tại N)

Bởi vì HN vuông góc với AC và HM vuông góc với AB, nên AM và AH đều vuông góc. Thiết lập rằng AH song song với MN (tại H), do đó AM và AH cũng vuông góc nhau. Do vậy, AMHN có tất cả các góc vuông, nên tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của HC. Theo định nghĩa, điểm K là điểm đối xứng với A qua I. Điều này nghĩa là AI = IK. Trong tam giác vuông ABC, chúng ta có thể khẳng định rằng HC = 2AI. Bởi vì I nằm ở giữa H và C, và K nằm ở cùng một một phương với I so với A, khi đó A, I và K nằm trên một đường thẳng. Do vậy, AC // HK vì cùng vuông góc với AB và cùng song song với mặt phẳng.

c) Để chứng minh tứ giác NCKM là hình thang cân, chúng ta chứng minh rằng NK // MC. Nhớ rằng HC là đường cao và IA = IK. Vì vậy, các đoạn thẳng này song song với nhau theo tính chất của đường cao và điểm giữa. Khi đó, NCKM cũng có cặp cạnh song song, và NK = MC do độ dài của N, M одинаковый khi M là hình chiếu của H lên AB.

d) Để chứng minh AK = 3AD, trước tiên, chúng ta nhận ra rằng D nằm giữa A và K. Vì K là điểm đối xứng với A qua I, nên có AK = AI + IK. Bằng cách áp dụng định nghĩa của điểm đối xứng, chúng ta có AI = AD (do D nằm trên AK). Khi đó, AK = AD + 2AD = 3AD, hoàn tất vấn đề.

Như vậy, các chứng minh trên đã đưa ra các kết quả và kết luận chính xác cho bài toán đã cho.