cho pt x^2-2(m+3)x+m^2+6m+5=0 tìm m để pt có 2 nghiệm pb sao cho -1<x1<x2<5 viet

Để giải phương trình bậc hai x^2 - 2(m + 3)x + (m^2 + 6m + 5) = 0, ta cần xác định điều kiện để phương trình này có hai nghiệm phân biệt và cả hai nghiệm đều nằm trong khoảng (-1, 5).

Bước 1: Tính discriminant để có 2 nghiệm phân biệt

Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần thiết là discriminant (Delta) phải lớn hơn 0:

Delta = b^2 - 4ac

Trong trường hợp này:
- a = 1
- b = -2(m + 3)
- c = m^2 + 6m + 5

Tính Delta:
Delta = [-2(m + 3)]^2 - 4 1 (m^2 + 6m + 5)
= 4(m + 3)^2 - 4(m^2 + 6m + 5)
= 4[(m + 3)^2 - (m^2 + 6m + 5)]
= 4[m^2 + 6m + 9 - m^2 - 6m - 5]
= 4[4] = 16

Delta luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của m, vì vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bước 2: Xét điều kiện nghiệm nằm trong khoảng (-1, 5)

Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Áp dụng định lý Viète, ta có:
x1 + x2 = 2(m + 3) (tổng hai nghiệm)
x1 * x2 = m^2 + 6m + 5 (tích hai nghiệm)

Để x1 và x2 nằm trong khoảng (-1, 5), ta cần:
1. x1 > -1 và x2 > -1
2. x1 < 5 và x2 < 5

Điều kiện 1: x1 + x2 > -2 và x1 * x2 > 1

Điều kiện đầu tiên:
x1 + x2 = 2(m + 3) > -2
=> 2(m + 3) > -2
=> m + 3 > -1
=> m > -4

Điều kiện thứ hai, sử dụng tích hai nghiệm:
x1 * x2 = m^2 + 6m + 5 > 1
=> m^2 + 6m + 4 > 0

Giải phương trình bậc hai:
m^2 + 6m + 4 = 0
Áp dụng công thức nghiệm:
m = (-6 ± √(6^2 - 414)) / (2*1) = (-6 ± √(36 - 16)) / 2 = (-6 ± √20) / 2
= -3 ± √5

Vì vậy, nghiệm của m là m1 = -3 - √5 và m2 = -3 + √5. Để tìm nghiệm của bất phương trình, ta cần xét dấu của m^2 + 6m + 4 = 0.

Bất phương trình m^2 + 6m + 4 > 0 sẽ không có nghiệm trong khoảng (-∞, m1) và (m2, +∞). Ta sẽ có hai khoảng là (-∞, -3 - √5) ∪ (-3 + √5, +∞).

Điều kiện 2: x1 < 5 và x2 < 5

Đối với điều kiện này:
x1 + x2 = 2(m + 3) < 10
=> 2(m + 3) < 10
=> m + 3 < 5
=> m < 2

Bước 3: Tổng hợp các điều kiện

Ta có ba điều kiện từ các phép tính trên:
1. m > -4
2. m < 2
3. m ∈ (-∞, -3 - √5) ∪ (-3 + √5, +∞)

Giới hạn cuối cùng
Khi xét toàn bộ các điều kiện, ta có:
-4 < m < 2 và m phải nằm trong các khoảng đã xác định từ dấu của m^2 + 6m + 4.

Cuối cùng, khoảng giá trị của m sẽ là:
m ∈ (-4, -3 - √5) ∪ (-3 + √5, 2).

Để đáp ứng các điều kiện trên, đây là các giá trị hợp lệ cho m mà làm cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (-1, 5).