Trong mặt phẳng có bốn đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song .Chứng minh rằng ta có thể tìm hai đường thẳng (Trong số bốn đường thẳng đã cho )tạo với nhau một góc không quá 45 độ

Giả sử bốn đường thẳng trong mặt phẳng được ký hiệu lần lượt là A, B, C và D. Vì không có hai đường thẳng nào song song, mỗi cặp đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm.

Mỗi cặp đường thẳng sẽ tạo thành một góc. Chúng ta cần xem xét tất cả các cặp đường thẳng có thể được tạo thành từ bốn đường thẳng này. Cụ thể, từ bốn đường thẳng A, B, C, D, ta có thể tạo ra bốn cặp đường thẳng như sau:

1. (A, B)
2. (A, C)
3. (A, D)
4. (B, C)
5. (B, D)
6. (C, D)

Tổng cộng sẽ có 6 cặp đường thẳng.

Mỗi cặp đường thẳng sẽ tạo ra hai góc đối nhau, nghĩa là nếu cặp đường thẳng (X, Y) tạo hai góc α và β với α + β = 180 độ. Góc α không thể là góc lớn hơn 90 độ thì góc β sẽ là góc nhỏ hơn 90 độ và ngược lại.

Nếu ta đưa ra một trong các cặp đường thẳng, có tổng cộng 6 cặp, và xem xét tất cả các góc mà các cặp đường thẳng này có thể tạo ra, chúng ta biết rằng mỗi đôi đường thẳng cắt nhau sẽ tạo ra một góc lớn nhất là 180 độ. Gọi góc nhỏ nhất giữa hai đường thẳng trong một cặp là θ. Chúng ta có:

- Góc θ có thể là 0 độ (khi hai đường thẳng trùng nhau, điều này không xảy ra tại đây)
- Góc θ có thể đến 90 độ (trong trường hợp vuông góc)
- Góc θ có thể lớn hơn 90 độ nhưng không quá 180 độ.

Vì vậy, để chứng minh rằng ít nhất một cặp sẽ có góc không quá 45 độ, chúng ta sử dụng nguyên lý Pigeonhole (hay nguyên lý buồng chim). Chia các góc đã tạo thành từ 6 cặp thành các khoảng độ như sau:

1. Khoảng (0°, 45°]
2. Khoảng (45°, 90°]
3. Khoảng (90°, 135°]
4. Khoảng (135°, 180°)

Bởi vì có 6 cây cặp đường thẳng, trong khi có chỉ 4 khoảng góc như đã nêu, theo nguyên lý buồng chim, ít nhất một trong các khoảng này phải chứa ít nhất hai cặp góc.

Nếu trong khoảng (45°, 90°] hoặc (90°, 135°] có hai góc từ một cặp đường thẳng, điều này sẽ dẫn đến rằng sẽ có ít nhất một cặp đường thẳng sẽ có góc dưới 45 độ, vì vậy, ít nhất một cặp sẽ tạo với nhau một góc không quá 45 độ.

Do đó, ta có thể chắc chắn rằng sẽ tồn tại hai đường thẳng trong số bốn đường thẳng đã cho mà tạo với nhau một góc không quá 45 độ.