Tính các tích phân sau

Để tính các tích phân trên, ta sẽ giải từng câu một.

Tích phân m:

\[
m = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\cos x (1 + \tan x)} dx
\]

Ta biết rằng:

\[
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
\]
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
1 + \tan x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}
\]

Do đó:

\[
\frac{\cos 2x}{\cos x (1 + \tan x)} = \frac{\cos 2x}{\cos x \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}
\]

Áp dụng tích phân:

\[
m = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} dx
\]

Bằng cách thay đổi biến bằng \( u = \frac{\pi}{4} - x \) và tính lại, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của hàm để giải. Kết quả cuối cùng là:

\[
m = \frac{\pi}{8}
\]

---

Tích phân n:

\[
n = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx
\]

Ta sử dụng định nghĩa về đạo hàm của hàm lượng giác, biết rằng:

\[
\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
\]

Tích phân của \( \sec^2 x \) là:

\[
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\]

Do đó:

\[
n = \left[ \tan x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Kết quả là:

\[
n = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

---

Tích phân o:

\[
o = \int_{0}^{1} (2^{2x} \cdot 3^{r-1}) dx
\]

Giả sử \( r \) là một hằng số, và \( 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x \).

Đối với \( \int 4^x \, dx \):

\[
\int 4^x \, dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C
\]

Vậy:

\[
o = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \cdot 3^{r-1} \right]_{0}^{1}
\]

Tính biên dưới:

\[
= \frac{4^1}{\ln 4} \cdot 3^{r-1} - \frac{4^0}{\ln 4} \cdot 3^{r-1}
\]
\[
= \frac{4}{\ln 4} \cdot 3^{r-1} - \frac{1}{\ln 4} \cdot 3^{r-1}
\]
\[
= \frac{3}{\ln 4} \cdot 3^{r-1}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
o = \frac{3^r}{\ln 4}
\]

Tóm lại, kết quả cho các tích phân là:

- m = \(\frac{\pi}{8}\)
- n = \(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\)
- o = \(\frac{3^r}{\ln 4}\)