Tính các tích phân sau

một tháng trước

Câu trả lời này dùng AI, hãy kiểm tra lại trước khi sử dụng

Để tính các tích phân trên, ta sẽ giải từng câu một.

Tích phân m:

m = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos 2 x}{\cos x (1 + \tan x)} d x

Ta biết rằng:

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Vì vậy, ta có:

1 + \tan x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}

Do đó:

\frac{\cos 2 x}{\cos x (1 + \tan x)} = \frac{\cos 2 x}{\cos x \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} = \frac{\cos 2 x}{\cos x + \sin x}

Áp dụng tích phân:

m = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos 2 x}{\cos x + \sin x} d x

Bằng cách thay đổi biến bằng

u = \frac{π}{4} - x

và tính lại, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của hàm để giải. Kết quả cuối cùng là:

m = \frac{π}{8}

---

Tích phân n:

n = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{\cos^{2} x}) d x

Ta sử dụng định nghĩa về đạo hàm của hàm lượng giác, biết rằng:

\frac{1}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x

Tích phân của

\sec^{2} x

là:

\int \sec^{2} x d x = \tan x + C

Do đó:

n = {[\tan x]}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = \tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}

Kết quả là:

n = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}

---

Tích phân o:

o = \int_{0}^{1} (2^{2 x} \cdot 3^{r - 1}) d x

Giả sử

r

là một hằng số, và

2^{2 x} = (2^{2})^{x} = 4^{x}

.

Đối với

\int 4^{x} d x

\int 4^{x} d x = \frac{4^{x}}{\ln 4} + C

Vậy:

o = {[\frac{4^{x}}{\ln 4} \cdot 3^{r - 1}]}_{0}^{1}

Tính biên dưới:

= \frac{4^{1}}{\ln 4} \cdot 3^{r - 1} - \frac{4^{0}}{\ln 4} \cdot 3^{r - 1}

= \frac{4}{\ln 4} \cdot 3^{r - 1} - \frac{1}{\ln 4} \cdot 3^{r - 1}

= \frac{3}{\ln 4} \cdot 3^{r - 1}

Kết quả cuối cùng là:

o = \frac{3^{r}}{\ln 4}

Tóm lại, kết quả cho các tích phân là:

- m =

\frac{π}{8}

- n =

1 - \frac{1}{\sqrt{3}}

- o =

\frac{3^{r}}{\ln 4}

Đăng phản hồi