Cho tử giác lồi ABCD. M là điểm bất kỳ trên AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N; Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại Q. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại

a) Để chứng minh rằng tử giác MNPQ là hình bình hành và MN.BD + MQ.AC = AC.BD, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường thẳng song song.

- Từ điểm M, khi kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N, ta có MN || AC. Điều này có nghĩa là góc AMN = góc MAC. Tương tự, từ M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại Q, ta có MQ || BD, nên góc AMQ = góc ABD.

- Khi kẻ đường thẳng song song với AC từ điểm Q và cắt CD tại P, ta có PQ || AC, nên góc QMP = góc QAC. Tương tự, PQ || AC cũng có nghĩa là góc ANP = góc ACB.

- Nhận thấy rằng góc AMN + góc ANP = góc MAC + góc ACB = 180 độ. Vì vậy, tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh song song: MN || PQ và MQ || NP. Do đó, MNPQ là hình bình hành.

- Để chứng minh MN.BD + MQ.AC = AC.BD, ta có thể sử dụng định lý hình học. Do MN || AC và MQ || BD, ta có thể thiết lập tỷ lệ:

Từ tứ giác ABCD, ta có:
MN / AC = BD / (BD + AD) => MN.BD + MQ.AC = AC.BD.

b) Để tìm vị trí của M sao cho diện tích hình bình hành MNPQ lớn nhất, ta xem xét diện tích của hình bình hành MNPQ.

Diện tích hình bình hành được tính bằng công thức: S = độ dài một cạnh x chiều cao. Cạnh MN hoặc MQ và chiều cao tương ứng sẽ phụ thuộc vào vị trí của M trên đoạn AB. Để tối ưu hóa diện tích, cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định chiều cao: Cố định điểm M, chiều cao từ M tới cạnh đối diện (các đoạn AC và BD) sẽ là một yếu tố quyết định đến diện tích.

2. Áp dụng nguyên lý tối ưu: Thay đổi vị trí của M trên AB sẽ ảnh hưởng đến hai đường thẳng song song. Cần xác định M sao cho độ dài MN và MQ là tối đa trong khi chiều cao giữa chúng là cố định.

3. Quy tắc cân bằng: Theo nguyên tắc hình học, vị trí tốt nhất của M sẽ là vị trí khiến cho đoạn thẳng AB được chia thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa MN và MQ là 1:1, tức là M nằm giữa A và B, ở vị trí đối xứng liên quan đến hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Kết luận: Vị trí của M sao cho diện tích hình bình hành MNPQ lớn nhất là khi M ở trung điểm của AB.