1+1/2+2/3+3/4+......+2020/2021+2021/2022

Để giải bài toán này, ta cần tính tổng biểu thức:

1 + 1/2 + 2/3 + 3/4 + ... + 2020/2021 + 2021/2022.

Khi phân tích biểu thức, ta có thể viết lại tổng này như sau:

Tổng S = 1 + (1/2) + (2/3) + (3/4) + ... + (2020/2021) + (2021/2022).

Trong tổng S, các số hạng từ 1 đến 2021 đều có dạng k/(k+1), với k chạy từ 0 đến 2021. Chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi số hạng có thể được viết lại thành:

k/(k+1) = 1 - 1/(k+1).

Áp dụng điều này cho tổng S, ta sẽ thay thế từng số hạng:

S = 1 + (1 - 1/2) + (1 - 1/3) + (1 - 1/4) + ... + (1 - 1/2021) + (1 - 1/2022).

Khi nhóm lại các số hạng, ta có:

S = 1 + (2021) - (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2021 + 1/2022).

Tổng số hạng 1 là 2021, vì có 2021 số hạng và 1 từ số đầu tiên. Bây giờ, chúng ta cần tập trung vào phần còn lại là tổng 1/n. Tổng này là phần của dãy số Harmonic, được gọi là H_n, trong trường hợp này là H_2022:

S = 2022 - H_2022.

Tổng H_2022 không có công thức cụ thể, nhưng nó có thể ước lượng khoảng giá trị. H_n có thể được ước tính xấp xỉ bởi ln(n) + γ (hằng số Euler-Mascheroni).

Do đó, H_2022 ≈ ln(2022) + 0.577... (nơi 0.577... là giá trị của hằng số γ).

Cuối cùng, sau khi tính được H_2022, ta có thể thay vào công thức S để tìm kết quả cuối cùng.

Tóm lại, tổng S sẽ chạy từ 2022 trừ đi phần ước lượng của H_2022. Ta có thể hoàn thiện các tình toán để đạt được kết quả cuối cùng, nhưng điều quan trọng là việc xác định rõ cách mà các số hạng trong tổng được xử lý và cách mà nó có thể nhóm lại để giúp việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.