cho đường tròn tâm o bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC và đường tròn (B,C tiếp điểm) H là giao điểm của OA và BC. Tia OA cắt đường tròn O tại M và N( M nằm giữa A và N

a, Đầu tiên, ta có đường tròn tâm O bán kính R và điểm A nằm ở ngoài đường tròn. Từ A, có thể kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn tại các điểm tiếp xúc B và C. Đường thẳng BC chính là tiếp tuyến với đường tròn ở hai điểm B và C.

Xét tam giác OAB, theo định lý tiếp tuyến, ta có OA vuông góc với BC, tức là OA ⊥ BC. Ngoài ra, theo định lý Pytago trong tam giác vuông OAB, ta có AB^2 = OA^2 - OB^2. Với OB = R, ta có:

AB^2 = OA^2 - R^2.

Mặt khác, theo định lý tiếp tuyến hai điểm, ta cũng có AH = AO - OH = AM + MN (với MN là đoạn nối giữa M và N). Khi đó, từ tính chất của đoạn thẳng AH, ta có điều:

AB^2 = AH · AO = AM · AN.

Vì vậy, ta chứng minh được AB^2 = AH.AO = AM.AN.

b, Kẻ đường kính BD, với D là điểm đối diện với B qua O. Khi đó, ta gọi E là hình chiếu của C lên BD. AC cắt CE tại K. Để chứng minh OA // CD, ta cần chỉ ra rằng hai đường thẳng này song song. Theo tính chất hình chiếu, khi E là hình chiếu của C lên BD, thì góc CAE = góc DBC (góc bằng nhau kẻ từ đường thẳng CA và BD cắt nhau tại A và D, tương ứng). Bên cạnh đó, ta có OA vuông góc với BC nên OA sẽ song song với CD.

Tiếp theo, ta cần chứng minh K là trung điểm của CE. Mặt khác, khi CE cắt AC tại K, và AC là đường chéo của hình bình hành CED (vì DE song song với AC), thì K sẽ chia CE thành hai đoạn bằng nhau, tức là K là trung điểm của CE.

c, Giả sử OA = 2R, ta cần tính diện tích hình quạt giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC. Diện tích hình quạt được tính bằng công thức:

S = (α/360) * πR^2.

Trong đó α là số đo của góc tạo bởi hai bán kính OB và OC, góc này chính là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và AC tại điểm A.

Trường hợp này với OA = 2R, ta có thông tin về góc AOB = α. Từ định lý tiếp tuyến, có thể tính được góc AOB như sau:

Góc AOB sẽ bằng 2 lần góc BAC do tính chất của tiếp tuyến và cung tròn. Thêm vào đó, α có thể được quyết định từ vị trí tương đối của A và phía bên ngoài điểm O.

Diện tích quạt sẽ tính được bằng cách thay giá trị góc α tương ứng vào công thức. Nếu O là tâm, OB = OC = R và góc AOB được xác định, ta có:

S = (α/360) * πR^2,

với α cần tính ra. Giả sử α = 60 độ (ví dụ), thì sẽ có:

S = (60/360) * πR^2 = (1/6)πR^2.

Do đó, tuỳ thuộc vào số đo góc α, bạn có thể thay vào công thức để có diện tích hình quạt tương ứng.