Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) , đường cao AH ( H thuộc BC ). Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD= HA. Đường vuông góc với BC cắt D và AC tại E. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng

Để giải bài toán này, ta cần xác định các yếu tố hình thức và tính chất của tam giác vuông ABC cũng như các điểm H, D, E, và M.

a) Để chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC, ta sẽ xem xét các góc của hai tam giác. Vì ABC có góc A = 90 độ (do là tam giác vuông tại A) và đường cao AH vuông góc với BC, nên góc CAB = góc ACB. Khi đó, ta cũng nhìn vào cách chọn điểm D. Ta có HD = HA, nghĩa là DE vuông góc với BC. Do đó, ta nhận thấy rằng góc DEC = góc ABC. Từ đó, chúng ta có góc DEC = góc CAB, và do đó hai tam giác DEC và ABC đồng dạng theo tiêu chí góc-góc.

b) Để chứng minh tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC, một lần nữa chúng ta sẽ so sánh các góc. Tam giác ADC có góc A = 90 độ từ tính chất của tam giác vuông ABC, còn BEC cũng có góc BEC = 90 độ do E nằm trên AC - khẳng định rằng DE vuông góc với AC. Thêm vào đó, góc ADC = góc BEC bởi vì cả hai góc đều là góc xoay quanh điểm E. Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta cũng có ADC ~ BEC.

c) Để chứng minh AB AC = BC AH, ta có thể sử dụng định lý về chiều cao trong tam giác vuông. Theo định lý này, tích của hai cạnh góc vuông của tam giác vuông bằng tích của cạnh huyền và chiều cao kẻ từ góc vuông xuống cạnh huyền. Do đó, AB AC = AH BC.

d) Cuối cùng, để chứng minh góc AHM = 45 độ, ta cần xem xét vị trí của điểm M, trung điểm của BE. Vì DE vuông góc với BC và M là trung điểm, nên M chia đoạn BE thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, chính xác rằng góc AHM = 45 độ, bởi vì các đường thẳng AM và HM tạo thành một góc vuông và M nằm trên đường cao AH.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh tất cả các yêu cầu của bài toán thông qua các tính chất và định lý trong tam giác vuông.