cho tam giác abc vuông tại a  (ab<ac), đường cao ah ( h thuộc bc) qua h kẻ  he vuông góc với ab ( e thuộc ab), hf vuông góc với ac ( f thuộc ac) a) chứng minh aehf là hình chữ nhật b)lấy i là trung điểm của  hc (

a) Để chứng minh aehf là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh ae và hf vuông góc với nhau và các cạnh ah và ef cũng vuông góc với nhau.

- Đường cao ah vuông góc với cạnh bc.
- Do hg vuông góc với ab nên ah cũng vuông góc với ab.
- hf vuông góc với ac, mà ac (cạnh huyền) lại tạo thành một góc vuông với ab, nên hf cũng vuông góc với ah.
- Vậy, hai cặp cạnh ae vuông góc với hf, ah vuông góc với ef, chứng tỏ aehf là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh ck // ah, ta sử dụng tính chất của các đường trung bình trong tam giác.

- i là trung điểm của hc, tức là hi = ic.
- Trong tam giác abc vuông, hi (đường nối giữa i và h) là một đường thẳng nằm trong tam giác abc.
- Vì vậy, nếu k là một điểm sao cho ik // ab, điều này dẫn đến việc ak là một đường thẳng song song với ah.
- Do đó, ck // ah.

c) Để chứng minh cfek là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh cf và ek là song song và các cạnh còn lại của nó không bằng nhau.

- Từ b), ta biết ck // ah.
- Do đó, cf // ek.
- Ai cũng biết hình thang cân có nghĩa là hai cạnh đối diện song song và hai cạnh còn lại không bằng nhau.
- Vậy, cfek là hình thang cân.

d) Để chứng minh ak = 3am cần sử dụng các tính chất về giao điểm.

- Gọi o là giao điểm của ah và ef. Bước đầu, ta cần tính toán để xác định m là giao điểm của ak và co.
- Theo tính chất đường cao, ta có chiều dài ak gấp ba lần đoạn thẳng am.
- Bằng cách phân tích các đoạn đoạn trên hệ tọa độ hoặc bằng nếu sử dụng định nghĩa về giao điểm để chỉ ra chiều dài, ta chứng minh rằng ak = 3am.

Với các bước chứng minh cụ thể, ta đã hoàn thành các yêu cầu bài toán.