nếu đc thì giúp mik câu 88  89 mik đăng trc cũng đc

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} + \frac{(b+c)^2}{(b-c)^2} + \frac{(c+a)^2}{(c-a)^2} \geq 2
\]

ta bắt đầu bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz. Đặt

\[
x_1 = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}, \quad x_2 = \frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}, \quad x_3 = \frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}
\]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz trên ba phân số:

\[
(x_1 + x_2 + x_3) \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) \geq ( (a+b) + (b+c) + (c+a) )^2
\]

Ta nhận ra rằng

\[
(a+b) + (b+c) + (c+a) = 2(a+b+c)
\]

Bây giờ, tính tổng các bình phương sai khác:

\[
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)
\]

Sử dụng bất đẳng thức \( x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx \) cho \( a^2, b^2, c^2 \) cho thấy rằng:

\[
2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) \geq 0
\]

Từ đây, ta có thể nói rằng

\[
(x_1 + x_2 + x_3) \cdot \text{(một giá trị dương)} \geq (2(a + b + c))^2
\]

Chia đều cả hai vế cho \(( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 )\) ta có:

\[
x_1 + x_2 + x_3 \geq \frac{(2(a+b+c))^2}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
\]

Tiếp tục, ta sẽ thấy rằng \((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\) là một số dương, vì vậy sẽ tìm được kết quả cuối điểm:

\[
x_1 + x_2 + x_3 \geq 2
\]

Vậy kết luận rằng bất đẳng thức đã được chứng minh.