Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE cắt nhau tại trực tâm H. Gọi I đối xứng với H qua E. a) Chứng minh rằng △ADC ∼ △AEI. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm DE, CI. Chứng minh rằng AMN [ = 90◦ (câu này khó quá ạ

a) Ta cần chứng minh rằng tam giác ADC và tam giác AEI là những tam giác đồng dạng.

Để chứng minh rằng hai tam giác là đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng tỉ số giữa các cạnh tương ứng của chúng là bằng nhau và các góc tương ứng cũng bằng nhau.

- Góc A là góc chung của cả hai tam giác ADC và AEI. Do đó, chúng ta đã có một góc chung.

- Góc DCA: Ta có tứ giác ADEH, với AD là đường cao ứng với đáy BC. Khi đó, góc DCA = góc HEA (theo tính chất đối xứng, I là đối xứng của H qua E).

- Góc EAI: Vì I được xác định là đối xứng của H qua E, nên góc EAI cũng bằng góc HAE.

Do đó, cả hai tam giác ADC và AEI có hai góc tương ứng bằng nhau, tính chất này dẫn đến việc hai tam giác đồng dạng theo tiêu chí góc-góc (AA).

Vì vậy, ta đã có kết luận △ADC ∼ △AEI.

b) Ta cần chứng minh rằng AM và N vuông góc với nhau.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DE và CI. Do đó, các đoạn thẳng AM, AN, DE, CI sẽ được xét.

Từ việc △ADC ∼ △AEI đã chứng minh ở trên, do đó, chiều cao AD sẽ vuông góc với BC. Tại điểm D, ta có thể kẻ một đường thẳng song song với BC để tạo thành một hình chữ nhật, với AD sẽ vuông góc với DE.

Tại điểm N (trung điểm của CI), ta có CI cũng vuông góc với DE vì chúng nằm trong cùng một tứ giác. Bây giờ, ta xét tam giác AMN:

- Đoạn AM sẽ nằm vuông góc với DE (do M là trung điểm nên AM chia DE thành hai phần bằng nhau và vuông góc),
- Đoạn AN sẽ vuông góc với CI (bởi vì N là trung điểm và CI cũng vuông góc với AM).

Do đó, từ điểm A, chúng ta có AM và AN vuông góc với nhau, suy ra AMN vuông góc.

Kết luận: Ta đã chứng minh rằng AMN = 90 độ.