..........................................................................

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( PQ \parallel BC \), chúng ta sẽ áp dụng định lý Thales trong tam giác và một số tính chất của tam giác.

1. Xác định các điểm:
- Cho tam giác \( ABC \) với các điểm \( N \) trên trung tuyến \( AM \).
- Gọi \( P \) là giao điểm của đoạn thẳng \( BN \) và đoạn thẳng \( AC \).
- Gọi \( Q \) là giao điểm của đoạn thẳng \( CN \) và đoạn thẳng \( AB \).

2. Xét các tam giác:
- Xét tam giác \( ABN \) và tam giác \( ACN \).
- Trong hai tam giác này, \( N \) thuộc trung tuyến \( AM \), do đó \( AN = NM \).

3. Sử dụng định lý Thales:
- Khi \( N \) là trung điểm của \( AM \), tỷ lệ các cạnh sẽ được bảo toàn.
- Từ đó, theo định lý Thales, nếu \( PQ \) cắt đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \), và các đoạn \( AP, PB \) và \( AQ, QC \) tỷ lệ với nhau thì \( PQ \) sẽ song song với \( BC \).

4. Chứng minh tỷ lệ:
- Từ \( N \) là trung điểm của \( AM \), ta có \( \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \), từ đó suy ra:
\[
\frac{AP}{PB} = \frac{AN}{NM}
\]

5. Kết luận:
- Do tỷ lệ giữa các đoạn thẳng được bảo toàn, ta có \( PQ \parallel BC \) theo định lý Thales.
- Vì vậy, đã chứng minh được rằng \( PQ \) song song với \( BC \).

Điều này thể hiện rằng các đoạn thẳng được xác định bằng tỷ lệ các đoạn thẳng trong tam giác và mối quan hệ giữa các điểm là rất quan trọng trong chứng minh tính song song.