Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Kẻ AH vuông góc với BC .Vẽ HI và HK lần lượt vuông góc với AB,AC , Trên tia đối của tia IH, KH lần lượt lấy các điểm E và F sao cho IE =IH và KF  = KH  a) Chứng

a) Để chứng minh tam giác AIE = tam giác AIH, ta sẽ sử dụng định nghĩa về tam giác đồng dạng.

- Xét tam giác AIE và tam giác AIH.
- Ta có:
- A là đỉnh chung của 2 tam giác.
- AH vuông góc với BC, nên góc AHI bằng 90 độ.
- Do HI vuông góc với AB nên góc AHI = góc AIE.
- IE = IH theo đề bài.

Từ đó, ta có:
1. Góc AIE = góc AIH (cùng bằng α, với α là góc AHI).
2. Góc A được chia thành 2 tam giác với 1 cạnh chung AI và cặp cạnh IE = IH.

Theo tiêu chí G,g,c (góc-góc-cạnh), ta có:
Tam giác AIE đồng dạng với tam giác AIH, tức là AIE ~ AIH.

b) Để chứng minh AE = AF, ta sẽ dựa trên tính chất của tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng.

- Ta đã có: Tam giác AIE ~ AIH.
- Do đó, tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của chúng sẽ bằng nhau:

AE / AI = AI / AH

- Đặt AF = AE (điều chúng ta cần chứng minh).
- Từ đó, nếu AE = AF, thì cạnh IA và IG là trung điểm và nó càng làm cho điều này chứng minh AE = AF.

c) Biết góc BAC = 60 độ, ta cần tính góc EAF.

- Ta có góc EAF bằng tổng của góc EAI và góc IAF.
- Vì E và F nằm trên các tia đối của IE và KF, nên góc EAI = góc AIH và góc IAF sẽ tương đương với khoảng góc mà AH tạo thành.
- Tính lại các góc: góc AIH = 90 độ, vì AH vuông góc với BC.
- Từ dữ liệu góc BAC = 60 độ, ta suy ra góc EAF = 60 độ.

Vậy góc EAF = 60 độ.